a)  Mekkora úton áll meg a másfél tonnás autó, ha $\displaystyle v_0=40\ \mathrm{\frac{km}{h}}$ sebességnél kezd el fékezni? (A légellenállást hanyagoljuk el!)

$s=15,4\ \mathrm{m}$

A feladatot már korábban, a súrlódási erő tárgyalásánál meg tudtuk volna oldani, az erők segítségével (dinamikai út), de most már munkavégzéssel is meg tudjuk (energetikai út).
 

 1. megoldás (dinamikai) 

Dimanikai megoldásnál végiggondoljuk az erőket: a fékezés alatt vízszintesen egyetlen erő hat az autóra, az $F_{\mathrm{s}}$ csúszási súrlódási erő (a sebességgel ellentétesen, azaz hátrafelé). Írjuk fel az $x$ vízszintes irányra a dinamika alapegyenletét:

$$\Sigma F_{\mathrm{x}}=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$

A sebesség irányát pozitívnak választva, a súrlódási erő negatív előjelű:

$$-F_{\mathrm{s}}=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$

A csúszási súrlódási erő nagysága a súrlódási együttható és a felületek közötti nyomóerő szorzata:

$$F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot F_{\mathrm{ny}}$$

Az autó és az úttest közötti nyomóerő meg kell egyezzen az autóra ható $mg$ nehézségi erővel, mert függőlegesen az autó nem gyorsul, így a rá ható függőleges erők koltják egymást:

$$F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot mg$$

Ezt beírva a dinamika alapegyenletébe:

$$-F_{\mathrm{s}}=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$

$$-\mu_{\mathrm{s}}\cdot mg=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$

A tömeg kiesik, tehát a fékút nem függ attól, hogy, hogy milyen nehéz az autó, csak a kezdősebességtől és a súrlódási együtthatótól).

$$-\mu_{\mathrm{s}}\cdot g=a_{\mathrm{x}}$$

Az adatokat SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$-0,4\cdot 10=a_{\mathrm{x}}$$

$$a_{\mathrm{x}}=-4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$

Ezzel a gyorsulással mennyi ideig tart a fékezés? Írjuk fel a gyorsulás definíciját:

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

$$a=\frac{v_1-v_0}{\Delta t}$$

A kezdősebességet váltsuk át SI-egységbe:

$\displaystyle v_0=40\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{40}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=11,1\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

Az adatokat SI-egységben, a mértékegyégek elhagyásával beírva:

$$-4=\frac{0-11,1}{\Delta t}$$

$$\Delta t=2,78\ \mathrm{s}$$

A megtett utat például az átlagsebességgel számoljuk, ami az egyenletesen változó mozgás esetén a kezdő- és végsebesség számtani közepe:

$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{11,1+0}{2}$$

$$v_{\mathrm{átl}}=5,56\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

Ebből a megtett út:

$$s=v_{\mathrm{átl}}\cdot \Delta t$$

$$s=5,56\cdot 2,78$$

$$s=15,46\ \mathrm{m}$$

 2. megoldás (energetikai) 

A munkatétel szerint a testre ható erők összes munkája megváltoztatja a test mozgási energiáját:

$$\Sigma W=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

Az autóra ható függőleges erőknek nincs munkája, hiszen az elmozdulás rájuk merőleges (vízszintes), ráadásul a függőleges erők ki is oltják egymást, így a testre a munkavégzés szempontjából csak a csúszási súrlódási erő hat. Ez állandó nagyságú erő, így a munkája egyszerűen számítható:

$$W=-F_{\mathrm{s}}\cdot s$$

A negatív előjel amiatt jött be, mert tudjuk, hogy az $F_{\mathrm{s}}$ súrlódási erő és az $s$ elmozdulás ellentétes irányú.

$$W=-\mu_{\mathrm{s}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\cdot s$$

$$W=-\mu_{\mathrm{s}}\cdot mg\cdot s$$

Foglalkozzunk most a munkatétel jobb oldalával, a mozgási energia megváltozásával:

$$\Delta E^{\mathrm{mozg}}=E^{\mathrm{mozg}}_1-E^{\mathrm{mozg}}_2$$

$$\Delta E^{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$

Mivel a végére az autó megáll, azaz $v_1=0$, ezért:

$$\Delta E^{\mathrm{mozg}}=-\frac{1}{2}mv_0^2$$

A munkatételbe beírva a kapott kifejezéseket:

$$W=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

$$-\mu_{\mathrm{s}}\cdot mg\cdot s=-\frac{1}{2}mv_0^2$$

A tömeg most is kiesik, valamint a negatív előjellel is egyszerűsíthetünk:

$$\mu_{\mathrm{s}}\cdot g\cdot s=\frac{1}{2}v_0^2$$

Az adatokat SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$0,4\cdot 10\cdot s=\frac{1}{2}\cdot 11,1^2$$

$$s=15,4\ \mathrm{m}$$

(A két módszerrel kapott eredmények közötti kis eltérés a kerekítések miatt van.)