A síkon való véletlen bolyongás modellkísérlete
Eszközök:
- tetraéder alakú dobókocka, dobókocka
- műanyagpohár
A mérés menete:
A síkon való véletlen bolyongást modellezhetjük a következő módon: a kétdimenziós bolyongásban a mozgó részecske az $x$‑, és az $y$‑tengellyel párhuzamos négy irány valamelyikébe tesz egységnyi lépéseket. Ennek megfelelően az origóból induló részecske lehetséges helyzetei a sík egész koordinátájú pontjai. Minden pontnak négy szomszédja van a négyzetrácson.
1. Tervezz meg és írj le egy olyan kísérletsorozatot, amellyel a síkon való véletlen bolyongást vizsgálhatjuk. A lépések legyenek minden irányba egyforma valószínűségűek!
2. Gyűjts adatokat, melyek segítségével a bolyongó részecske helyének a kiindulási ponttól mért távolságát tudod számolni.
3. A gyűjtött adatok rendezésével vizsgáld meg, hogyan függ a kiindulási ponttól mért távolság a lépésszámtól! Végezz több mérési sorozatot, az adatokat rendezd táblázatba, a függvény megállapításához a távolságértékek átlagát használd!
4. Ábrázold koordinátarendszerben a kiindulási ponttól mért átlagos távolságot a lépésszám függvényében! Jellemezd a kapott függvényt! Állapítsd meg, hogy milyen kapcsolat áll fenn a két mennyiség között!
Albert Einstein 1905‑ben írt egyik cikke a virágporszemcse vízcseppben történő zegzugos mozgásával (Brown‑mozgás) foglalkozik, amit véletlen bolyongásként írt le. Hasonló módon lehet leírni a járványok terjedését: a fertőzött területet a kiindulási ponttól mért átlagos távolságon belül lévő területtel azonosíthatjuk.
5. Egy középkori járvány során a fertőzött terület a megjelenésétől számított 10 nap alatt $20\ \mathrm{km}$ sugarú körré nő. A fenti modellt és a 4. feladatrészben megfogalmazott törvényszerűséget felhasználva jósold meg, hogy mekkorára nő a fertőzött terület a következő 10 napban!
6. Milyen tényezők vezethettek a fenti eredmény módosulásához a középkorban?
7. Milyen további tényezők módosíthatják egy járvány mai elterjedését a fenti modellhez képest?