a)  Hogyan aránylott egymáshoz a mintában lévő kétféle kiinduló anyag atommagjainak száma kezdetben?

${2N}_1=N_2$

Adatok:

$T_1=2\ \mathrm{h}$

$T_2=1\ \mathrm{h}$
 

a) A kétféle izotóp kezdeti arányának kiszámítása:

8 pont
(bontható)

Mivel két óra elteltével a kétfajta izotóp száma a mintában

$${N'}_{\! \! \! \! \; 1}={{N_1}\over {2}}$$

(1 pont)

illetve

$${N'}_{\! \! \! \! \; 2}={{N_2}\over {4}}$$

(1 pont)

szerint változik, valamint az összes radioaktív magra a mintában

$${N'}_{\! \! \! \! \; 1}+{N'}_{\! \! \! \! \; 2}={{N_1+N_2}\over {3}}$$

teljesül (1 pont)

$$\boldsymbol{\Rightarrow }$$

$${{N_1}\over {2}}+{{N_2}\over {4}}={{N_1+N_2}\over {3}}$$

(2 pont)

amiből

$${2N}_1=N_2$$

(rendezés és számítás, 2 + 1 pont)

(Ha a szöveges magyarázatok nem szerepelnek, de a jelölések egyértelműek és a gondolatmenet helyes és követhető, a megfelelő pontszám megadandó.)

b)  Újabb két óra alatt hányad részére csökken az első két óra eltelte után is meglévő, bomlásra kész atommagok száma?

$\displaystyle \frac{{N''}_{\! \! \! \! \! \: 1}+{N''}_{\! \! \! \! \! \: 2}}{{N'}_{\! \! \! \! \; 1}+{N'}_{\! \! \! \! \; 2}}=\displaystyle \frac{3}{8}$

b) Az újabb két óra múlva megmaradt radioaktív atommagok hányadának kiszámítása:

10 pont
(bontható)

Újabb két óra elteltével a kétfajta izotóp száma a mintában megint

$${N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 1}={{{N'}_{\! \! \! \! \; 1}}\over {2}}$$

illetve

$${N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 2}={{{N'}_{\! \! \! \! \; 2}}\over {4}}$$

(1 pont)

szerint változik, azaz

$${N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 1}={{N_1}\over {4}}$$

(1 pont)

illetve

$${N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 2}={{N_2}\over {16}}$$

(1 pont)

A keresett arány

$${{{N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 1}+{N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 2}}\over {{N'}_{\! \! \! \! \; 1}+{N'}_{\! \! \! \! \; 1}}}=\frac{\ \displaystyle \frac{4N_1+N_2}{16}\ }{\displaystyle \frac{N_1+N_2}{3}}$$

(3 pont)

amiből

$${2N}_1=N_2$$

felhasználásával

$${{{N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 1}+{N''}_{\! \! \! \! \! \! \; 2}}\over {{N'}_{\! \! \! \! \; 1}+{N'}_{\! \! \! \! \; 1}}}={{3}\over {8}}$$

adódik (rendezés és számítás 2 + 1 pont).

(Ha a szöveges magyarázatok nem szerepelnek, de a jelölések egyértelműek és a gondolatmenet helyes és követhető, a megfelelő pontszám megadandó.)

(Ha valaki, csak a radioaktív bomlástörvényt írja fel, a teljes feladatra legfeljebb 2 pontot kaphat.)

Összesen: 18 pont