Egy parabolatükrös napkályhában szeretnénk teát főzni. A napkályhánk egy \(1,4\ \mathrm{m}\) átmérőjű parabolatükör, amely, ha a Nap felé fordítjuk, a felületére eső napsugarakat egy, a fókuszpont-jába helyezett, feketére festett, a ráeső sugárzást jól elnyelő, \(0,3\ \mathrm{kg}\) tömegű alumínium lábosra tükrözi. A napsugárzás intenzitása merőleges besugárzás esetén $750\ \mathrm{\displaystyle\frac{W}{\ m^2}}$. A lábos hűlésétől eltekinthetünk!
$\bigg($A víz fajhője $4200\ \mathrm{\displaystyle{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}$, az alumínium fajhője $900\ \mathrm{\displaystyle{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}.\bigg)$
Mennyi idő alatt forr fel a kezdetben \(15\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletű $1,2\ \mathrm{liter}$ forrásvíz, ha a napkályha hatásfoka $85\%$?
$t=7\ \mathrm{perc}\ 40\ \mathrm{másodperc}$
Adatok:
$C_{\mathrm{víz}}=4200\ \mathrm{\displaystyle{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}$
$C_{\mathrm{Al}}=900\ \mathrm{\displaystyle{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}$
$m_{\mathrm{lábos}}=0,3\ \mathrm{kg}$
$V_{\mathrm{víz}}=1,2\ \mathrm{liter}$
$T_{\mathrm{víz}}=15\ \mathrm{{}^\circ C}$
$d=1,4\ \mathrm{m}$
$P_{\mathrm{Nap}}=750\ \mathrm{\displaystyle\frac{W}{\ m^2}}$
$\eta =85\%$
A víz felforralásához szükséges hőmérséklet‑változás megadása:
1 pont
$${\mathit{\Delta}}T=85\ \mathrm{{}^\circ C}$$
A víz felmelegítéséhez szükséges hőmennyiség felírása és kiszámítása:
2 + 1 pont
$$Q_{\mathrm{víz}}=C_{\mathrm{víz}}\cdot {\mathit{\Delta}}T\cdot m_{\mathrm{víz}}$$
$$Q_{\mathrm{víz}}=428\ 400\ \mathrm{J}$$
A lábos felmelegítéséhez szükséges hőmennyiség felírása és kiszámítása:
2 + 1 pont
$$Q_{\mathrm{Al}}=C_{\mathrm{Al}}\cdot {\mathit{\Delta}}T\cdot m_{\mathrm{lábos}}$$
$$Q_{\mathrm{Al}}=22\ 950\ \mathrm{J}$$
A kályha felvett teljesítményének kiszámítása:
7 pont
(bontható)
A tükör felülete: $$A_{\mathrm{tükör}}={\left({{d}\over {2}}\right)}^{\! 2}\cdot \pi $$
$$A_{\mathrm{tükör}}=1,54\ \mathrm{m^2}$$ (1 pont)
A kályha felvett teljesítménye:
$$P_{\mathrm{felvett}}=A_{\mathrm{tükör}}\cdot P_{\mathrm{Nap}}$$
$$P_{\mathrm{felvett}}=1,54\ \mathrm{m^2}\cdot 750\ \mathrm{\displaystyle{{W}\over {\ m^2}}}$$
$$P_{\mathrm{felvett}}=1155\ \mathrm{W}$$
(képlet és számítás 3 + 1 pont)
A kályha hasznos teljesítményének kiszámítása:
$$P_{\mathrm{hasznos}}=P_{\mathrm{felvett}}\cdot \eta $$
$$P_{\mathrm{hasznos}}=1155\ \mathrm{W}\cdot 0,85$$
$$P_{\mathrm{hasznos}}=981,75\ \mathrm{W}$$
(képlet és számítás 1 + 1 pont)
A víz felmelegítéséhez szükséges idő megadása:
3 pont
(bontható)
$$t={{Q_{\mathrm{víz}}+Q_{\mathrm{lábos}}}\over {P_{\mathrm{hasznos}}}}$$
$$t={{451\ 350\ \mathrm{J}}\over {981,75\ \mathrm{W}}}$$
$$t=459,7\ \mathrm{s}\approx 460\ \mathrm{s}$$
$$t=7\ \mathrm{perc}\ 40\ \mathrm{másodperc}$$
(Képlet és számítás 2 + 1 pont. A percekre való áttérés nélkül is teljes pontszám jár.)
Összesen: 17 pont