Egy mérlegen egy súlyos kötéltekercs hever, melynek végét a \(t = 0\ \mathrm{s}\) időpillanatban állandó, $v=0,05\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}$ nagyságú sebességgel függőlegesen fölfele kezdjük húzni. A mellékelt táblázatban feltüntettük a tömegértékeket, amelyeket a mérleg a különböző időpontokban mér.
| t (s) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 |
| m (kg) | 6,0 | 4,8 | 3,6 | 2,4 | 1,2 | 0 | 0 | 0 |
($g=10\ \mathrm{\displaystyle{{m}\over {\ s^2}}}$, a kötél súlyához képest a lendületváltozásból eredő hatások elhanyagolhatóak.)
a) Ábrázolja a mérleg által mért tömeget az idő függvényében, és magyarázza meg a görbe menetét!
Adatok:
$g=10\ \mathrm{\displaystyle{{m}\over {\ s^2}}}$
a) Az adatok megfelelő ábrázolása:
4 pont
(bontható)
Megfelelően skálázott és feliratozott tengelyek: 1 pont.
A pontok megfelelő elhelyezése a grafikonon: 2 pont.
Egyenes illesztése a pontokra: 1 pont.
A görbe menetének elemzése:
4 pont
(bontható)
A mérleg által mért tömeg a mérés során egy darabig csökken (1 pont), mivel egyre kevesebb kötél nyomja a mérleget. Mivel állandó sebességgel húzzuk fölfelé a kötelet, az idővel egyenesen arányban nő annak a kötéldarabnak a tömege, ami már a levegőben lóg (1 pont), ezért a mérleg által mutatott érték is lineárisan csökken (1 pont). Egy idő múlva elfogy a kötél a mérlegről (1 pont), ezután a mérleget már nem nyomja semmi, a mérleg nullát mutat.
b) Mekkora a teljes tekercs tömege?
$m=6\ \mathrm{kg}$
b) A kötél tömegének megadása:
2 pont
A $t=0\ \mathrm{s}$‑ban mért adat leolvasásából:
$$m=6\ \mathrm{kg}$$
c) Milyen hosszú a kötél?
$l=5\ \mathrm{m}$
c) A kötél hosszának megadása:
2 pont
Mivel a kötél a $t_1=100\ \mathrm{s}$ pillanatban fogy el a mérlegről, a vége ekkor
$$l=v\cdot t_1$$
$$l=5\ \mathrm{m}$$
magasan van, tehát $5\ \mathrm{m}$ hosszú.
d) Mekkora erővel kellett húzni a kötél végét a \(t = 80\ \mathrm{s}\) időpillanatban?
$F=48\ \mathrm{N}$
d) A szükséges húzóerő megadása:
3 pont
(bontható)
Mivel a $t=80\ \mathrm{s}$ pillanatban a táblázatból vagy az ábrából leolvashatóan a mérlegen $m=1,2\ \mathrm{kg}$ kötél van még (1 pont), az általunk kifejtett erő
$$F=4,8\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}$$
$$F=48\ \mathrm{N}$$
(2 pont)
e) Mennyi munkát végeztünk az első 100 másodpercben, ha a kötél mozgási energiája elhanyagolható?
$E=150\ \mathrm{J}$
e) Az általunk végzett munka megadása:
5 pont
(bontható)
A kötél súlypontja a $t=100\ \mathrm{s}$ pillanatra $\displaystyle \frac{l}{2}=2,5\ \mathrm{m}$ magasra került (2 pont).
A kötél helyzeti energiája ekkor tehát:
$$E=m\cdot g\cdot {{l}\over {2}}$$
$$E=150\ \mathrm{J}$$
(2 pont)
ami egyenlő az általunk végzett munkával (1 pont).
Összesen: 20 pont