Tegyük fel, hogy egy hidrogénatom fotont bocsát ki, miközben elektronja az $n=5$ főkvantumszámmal jelzett állapotból az $n=3$ főkvantumszámmal jelzett állapotba jut. Az így kibocsátott fotont elnyeli egy másik hidrogénatom, amely így ionizálódik.
A hidrogénatom elektronjának energiája az $n$ főkvantumszámmal jelzett állapotban $E_n=-13,6\ \displaystyle \frac{\mathrm{eV}}{\ n^2}$.
Hányas főkvantumszámú állapotban lehetett az ionizált hidrogénatom elektronja a foton elnyelése előtt?
$n\ge 4$
Adatok:
$n_1=5$
$n_2=3$
$E_n=-13,6\ \displaystyle \frac{\mathrm{eV}}{\ n^2}$
A kibocsátott foton energiájának meghatározása:
7 pont
(bontható)
Az elektron $n=5$ főkvantumszámmal jelzett állapotának energiája:
$$E_5=-13,6\ \mathrm{eV}\cdot {{1}\over {\ 5^2}}$$
$$E_5=-0,544\ \mathrm{eV}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
Az elektron $n=3$ főkvantumszámmal jelzett állapotának energiája:
$$E_3=-13,6\ \mathrm{eV}\cdot {{1}\over {\ 3^2}}$$
$$E_3=-1,511\ \mathrm{eV}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
(Az elektronállapotok energiája csak megfelelő előjellel együtt fogadható el. A negatív előjel hiányáért mindkét esetben egy pontot kell levonni.)
$$E_{\mathrm{foton}}=E_5-E_3$$
$$E_{\mathrm{foton}}=0,967\ \mathrm{eV}$$
(képlet + számítás, 2 + 1 pont)
Annak felismerése, hogy a kibocsátott foton olyan hidrogénatomokat képes ionizálni, ahol az elektron energiájának abszolút értéke kisebb, mint a fotonenergia:
2 pont
A felismerés kifejezhető képlettel is, pl.
$$E_{\mathrm{foton}}>\left|E_n\right|$$
vagy
$$E_{\mathrm{foton}}+E_n>0$$
Annak felismerése, hogy az $n=\mathit{4}$ főkvantumszámú állapot az első olyan állapot, amely ezt a feltételt teljesíti:
2 pont
A felismerés kifejezhető képlettel is, pl.
$$E_{\mathrm{foton}}>\left|E_4\right|$$
vagy
$$E_{\mathrm{foton}}+E_4>0$$
vagy az
$$n=4$$
állapot energiájának megadásával
$$E_4=-0,85\ \mathrm{eV}$$
Annak felismerése, hogy bármely $n>\! \mathit{4}$ főkvantumszámú állapot is teljesíti a feltételt:
3 pont
(bontható)
A helyes válasz tehát, hogy az ionizált hidrogénatom elektronja valamely
$$n\ge 4$$
főkvantumszámú állapotban „tartózkodott”.
(Amennyiben a vizsgázó nem számolja ki az egyes energiaszinteket, azok különbségét, hanem paraméteres egyenlőtlenséggel oldja meg a feladatot, a teljes pontszám megadandó.)
$$E_n\ge E_5-E_3$$
azaz
$$13.6\cdot {{1}\over {\ n^2}}\ge -13,6\left({{1}\over {\ 5^2}}-{{1}\over {\ 3^2}}\right)$$
$$\boldsymbol{\Rightarrow }$$
$$n\ge 4\ $$
Összesen: 14 pont