Egy 2,4 méter széles rakterű ponyvás teherautó háborús övezetben halad 80 km/h sebességgel. Jobbról puskagolyó találatot kap, emiatt a jobb oldali ponyván egy bemeneti lyuk, a bal oldali ponyván pedig egy kimeneti lyuk keletkezik. (Számoljunk úgy, hogy a lövedék a raktérben nem talál el semmit, ezért a raktérben haladva nem veszít a sebességéből, valamint a vékony ponyva átszakítása közben sem!)
1. A teherautó oldalponyvájával hány fokos szöget zárt be a vízszintesen oda érkező puskagolyó pályegyenese, ha a kimeneti nyílás 25 cm-rel van hátrébb a bemenetinél, és tudjuk, hogy a lövedék egy AK-47-es Kalasnyikovból, viszonylag közelről jött, azaz a sebessége kb. 700 m/s volt?
$α=68,66{}^\circ $
Most is a teherautóhoz rögzített vonatkoztatási rendszerből írjuk le az eseményt! Ezúttal a helyzet bonyolultabb, hiszen most a lövedék $v_L$ sebességének már önmagában is két komponense van, egy $v_{L~\parallel }$ menetirányú és egy $v_{L~\bot }$ menetirányra merőleges:
amiket a keresett $α$ szög segítségével ki is fejezhetünk:
$$v_{L~\parallel }=v_L\cdot {\cos α\ }$$
$$v_{L~\bot }=v_L\cdot {\sin α\ }$$
Azonban mivel a teherautóhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben írjuk le a folyamatot, ezért a lövedék $v_{L~\parallel }$ menetirányú sebességkomponensét növeli a teherautó mozgása, vagyis ehhez még hozzá kell adni a $v_T$ sebességet, így jön létre a lövedél eredő $v_{L\ er}$ sebessége, amit ezúttal is felbonthatunk a teherautó sebességével párhuzamos $v_{L\ er\ \parallel }$ sebességkomponensre és arra merőleges $v_{L\ er\ \bot }$ sebességkomponensre:
Az ábra nagyon torz, hiszen a teherautó 2,4 méter széles, azaz a valóságban a szürke szaggatott vonal közel 10-szer akkora, mint a felső 25 cm-es szakasz.
Mi az $α$ szöget keressük. Ennek meghatározásához például tudnunk kéne a $v_L$, a $v_{L~\parallel }$ és a $v_{L~\bot }$ sebességekből legalább kettőt, vagy az egyiket és valami további összefüggést közöttük. De mi csak annyit tudunk, hogy a $v_L$ az 700 m/s (továbbá tudjuk, hogy a $v_T$ sebesség 80 km/h azaz 22,22 m/s). Tehát valahogyan meg kellene határoznunk ennek az összetevőiből legalább az egyiket, vagy valami más összefüggést közöttük. Vegyük észre, hogy az $α'$ szög megjelenik az ábránkon máshol is:
Emiatt van két hasonló derékszögű háromszögünk:
Emiatt az $α'$ szöggel szemközti és melletti befogók hányadosa azonos kell legyen:
$$\ \ \ \ \ \ \ \ {{2,4\ m}\over {25\ cm}}={{\rm tg} α'\ }={{v_{L\ \bot }}\over {v_{L\ \parallel }}}\ \ \ \ \ (1)$$
Számítsuk ki $α'$-t:
$${{\rm tg} α'\ }={{2,4\ m}\over {0,25\ m}}=9,6$$
$$α'=84,05{}^\circ $$
Most nézzük az (1) egyenlet jobb oldalát:
$${{\rm tg} α'\ }={{v_{L\ \bot }}\over {v_{L\ \parallel }}}$$
$$9,6={{v_L\cdot {\sin α\ }}\over {v_T+v_L\cdot {\cos α\ }}}$$
Írjuk be az adatokat:
$$9,6={{700\ {{m}\over {s}}\cdot {\sin α\ }}\over {22,22\ {{m}\over {s}}+700\ {{m}\over {s}}\cdot {\cos α\ }}}$$
$$9,6\cdot \left(22,22+700\cdot {\cos α\ }\right)=700\cdot {\sin α\ }$$
$$22,22+700\cdot {\cos α\ }=72,92\cdot {\sin α\ }$$
$${\left(22,22+700\cdot {\cos α\ }\right)}^2={\left(72,92\cdot {\sin α\ }\right)}^2$$
$$493,8+31.111\cdot {{\cos }^2 α=5316,8\ \ }{{\sin }^2 α\ }$$
$$493,8+31.111\cdot {{\cos }^2 α=5316,8\ \ }\left(1-{{\cos }^2 α\ }\right)$$
$$493,8+31.111\cdot {{\cos }^2 α=5316,8-5316,8\cdot {{\cos }^2 α\ }\ \ }$$
$$36.427,8\cdot {{\cos }^2 α=4823\ \ }$$
$${{\cos }^2 α=0,1324\ \ }$$
$${{\cos α\ } =0,3638\ \ }$$
$$α=68,66{}^\circ $$