$\textbf A$ és $\textbf B$ egy vízszintes asztallap két átellenes pontja. Péter és Pál ki akarja kísérletezni, hogy mekkora az a minimális $v_{\textbf A}$, illetve $v_{\textbf B}$ sebesség, amellyel el kell indítani az $\textbf A$, illetve $\textbf B$ pontba helyezett gyufaskatulyát, hogy az még eljusson az átellenes $\textbf B$, illetve $\textbf A$ pontba. Az asztallap már kopott, a súrlódási együttható az egyik helyen kisebb, a másik helyen nagyobb az $\textbf{AB}$ egyenes mentén.
Péter biztosra veszi, hogy
$\textbf{a)}$ $v_{\textbf A}$ feltétlenül ugyanakkora, mint $v_{\textbf B}$, továbbá
$\textbf{b)}$ a $T_{\textbf A\to \textbf B}$ menetidők (ami alatt a skatulya átcsúszik $\textbf A$‑ból $\textbf B$‑be, illetve $\textbf B$‑ből $\textbf A$‑ba) is okvetlenül egyenlők egymással.
Pál mindkét megállapítást tévesnek tartja.
Segíts nekik tisztázni a dolgot!
(Károlyházy Frigyes, Budapest)
A megoldáshoz használjuk fel a következő ábra jelöléseit!
Az $\textbf{a)}$ megállapítás igaz!
A $\Delta x$ hosszúságú (kicsiny) szakaszon fellépő súrlódási energiaveszteség
$$mg\cdot \mu (x)\cdot \Delta x$$
nagyságú, ahol $m$ a skatulya tömege és $x$ az $\mathrm{A}$-ból mért távolság, akár egyik, akár másik irányba mozog a skatulya. Mind az $\mathrm{A\to B}$, mind a másik, a $\mathrm{B\to A}$ átmenetnél mindegyik $\Delta x$ szakaszra sor kerül. A teljes energiaveszteség tehát egyenlő a két esetben, így egyenlő lesz a szükséges kezdeti mozgási energia is; ennélfogva $v_{\mathrm{A}}$ és $v_{\mathrm{B}}$ is.
A $\textbf{b)}$ megáIlapítás hamis!
Egyetlen (pl. a kövekező ábrán megfigyelhető) ellenpélda is elegendő bizonyítás.
Látnivaló, hogy a $\mathrm{B\to A}$ úton a test "végig gyorsan halad", míg az $\mathrm{A\to B}$ út nagy részén lassan. Itt tehát
$$T_{\mathrm{A\to B}}>T_{\mathrm{B\to A}}$$