Egy gömb alakú, gömbszimmetrikus anyageloszlású, \(9000\ \mathrm{km}\) sugarú bolygó körül két űrszonda kering körpályán. Az egyik szonda sebessége \(4800\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\), a pályájának sugara \(50\ 000\ \mathrm{km}\). A másik szonda pályájának sugara \(30\ 000\ \mathrm{km}\).
$\bigg($A gravitációs állandó: $\gamma =6,67\cdot {10}^{-11}\ {\mathrm{\displaystyle{N\cdot m^2}\over \displaystyle{{kg}^2}}}.\bigg)$
a) Mekkora a bolygó átlagsűrűsége?
$\varrho =5660\ {\mathrm{\displaystyle{kg}\over \displaystyle{\ m^3}}}$
Adatok:
$R=9000\ \mathrm{km}$
$r_1=50\ 000\ \mathrm{km}$
${v_1}=4800\ {\mathrm{\displaystyle{m}\over \displaystyle{s}}}$
${r_2}=30\ 000\ \mathrm{km}$
$\gamma =6,67\cdot {10}^{-11}{\mathrm{\displaystyle{N\cdot m^2}\over \displaystyle{{kg}^2}}}$
a) Annak felismerése, hogy a körpályán keringő űrszonda centripetális gyorsulása éppen a gravitációs gyorsulással egyenlő:
2 pont
Amennyiben a vizsgázó ezt expliciten nem írja le, de egyértelműen ennek megfelelően számol, a két pont jár.
A bolygó tömegének megadása:
5 pont
(bontható)
Az első űrszonda mozgására:
$${{v^2_1}\over {\ r_1}}=\gamma {{M}\over {r^2_1}}$$
(2 pont)
amiből
$$M={{v^2_1\cdot r_1}\over {\gamma }}$$
$$M=1,73\cdot {10}^{25}\ \mathrm{kg}$$
(rendezés + számítás, 2 + 1 pont)
A bolygó átlagsűrűségének meghatározása:
2 pont
(bontható)
Mivel
$$V={{4}\over {3}}R^3\cdot \pi $$
$$V=3,05\cdot {10}^{21}\ \mathrm{m^3}$$
(1 pont)
a sűrűségre
$$\varrho ={{M}\over {V}}$$
$$\varrho =5660\ {\mathrm{\displaystyle{kg}\over \displaystyle{\ m^3}}}$$
adódik (1 pont).
b) Mekkora a második szonda sebessége?
$v_2=6200\ \displaystyle {\mathrm{{m}\over {s}}}$
b) A második űrszonda sebességének meghatározása:
6 pont
(bontható)
A második űrszonda mozgására
$${{v^2_2}\over {r_2}}=\gamma {{M}\over {r^2_2}}$$
(2 pont)
amiből
$$v_2=\sqrt{{{\gamma \cdot M}\over {r_2}}}$$
$$v_2=6200\ {\mathrm{\displaystyle{m}\over \displaystyle{s}}}$$
(rendezés + számítás, 2 + 2 pont)
Összesen: 15 pont