Két rugalmas gumilabdánk van, egy nagy és egy kicsi. A nagyobbiknak a tömege sokszorta nagyobb a kisebbik tömegénél. Ha a labdákat egyenként sima, kemény talajra ejtjük $h$ magasságból, azt tapasztaljuk, hogy a talajról visszapattanva csaknem ugyanilyen magasságig emelkednek. A kísérletünkben a labdákat úgy fogjuk meg, hogy a kisebbet pontosan a nagyobbik legtetejére illesztjük, és a két labdát egyszerre engedjük el. Azt tapasztaljuk, hogy a kisebbik labda most az eredeti h magasságnál jóval magasabbra emelkedett.
a) Értelmezze a jelenséget! Tételezze fel, hogy egy labda $h$ magasságból ejtve $v$ sebességgel ér a talajra! Mi történik akkor, amikor a labdákat egyenként ejtjük le? Körülbelül mekkora sebességgel indulnak felfelé az ütközés után? Hogyan értelmezhetjük a jelenséget abban az esetben, amikor egymásra helyezve ejtjük el a labdákat?
Magyarázata során az alábbiakra térjen ki:
- Melyik labda mivel ütközik?
- Mekkora az ütköző testek egymáshoz viszonyított sebessége ezen ütközésekben az ütközések előtt
- Hogyan alakul az egyes testek sebessége az ütközés során?
- Hogyan következik mindebből, hogy a kislabda magasabbra pattan, mint amilyen magasról elengedtük?
Az ütközéseket tekintsük minden elemében tökéletesen rugalmasnak! A labdák átmérője elhanyagolható a $h$ magassághoz képest! A közegellenállástól eltekintünk.
Ha a labdákat $h$ magasságból ejtjük le, sebességük nagysága talajt éréskor egyaránt $v$ lesz. Ütközés után $v$ nagyságú sebességgel pattannak vissza. Így ugyanolyan magasságig emelkednek.
A második esetben az együtt leejtett labdák ütközését szétválaszthatjuk két külön ütközésre. Először a nagyobb labda pattan vissza a talajról, sebessége ezen ütközés után $v$ nagyságú lesz. Ezután a kisebb, $v$ nagyságú sebességgel mozgó labda ütközik a vele szemben haladó nagyobbal. Mivel a kis labda az ütközés előtt a nagyhoz képest $2v$ nagyságú sebességgel haladt, ütközés után a kis labda sebessége $2v$ nagyságú lesz a nagyhoz képest. A talajhoz viszonyított sebességének nagysága tehát $3v$ lesz. Ez sokkal nagyobb, mint a $v$ sebesség, amivel $h$ magasságig emelkedne, így a visszapattanás után $h$‑nál lényegesen magasabbra emelkedik.
A külön‑külön leejtett labdák visszapattanásának elemzése:
3 pont
(bontható)
Ha a labdákat $h$ magasságból ejtjük le, sebességük nagysága talajt éréskor egyaránt $v$ lesz.
Ütközés után $v$ nagyságú sebességgel pattannak vissza (2 pont).
Így ugyanolyan magasságig emelkednek (1 pont).
Az együtt leejtett labdák visszapattanásának közelítő elemzése:
17 pont
(bontható)
A második esetben az együtt leejtett labdák ütközését szétválaszthatjuk két külön ütközésre (2 pont).
Először a nagyobb labda pattan vissza a talajról (2 pont), sebessége ezen ütközés után $v$ nagyságú lesz (2 pont).
Ezután a kisebb, $v$ nagyságú sebességgel mozgó labda ütközik a vele szemben haladó nagyobbal (2 + 2 pont).
Mivel a kis labda az ütközés előtt a nagyhoz képest $2v$ nagyságú sebességgel haladt (2 pont), ütközés után a kis labda sebessége $2v$ nagyságú lesz a nagyhoz képest (2 pont).
A talajhoz viszonyított sebességének nagysága tehát $3v$ lesz (2 pont).
Ez sokkal nagyobb, mint a $v$ sebesség, amivel h magasságig emelkedne (1 pont), így a visszapattanás után $h$‑nál lényegesen magasabbra emelkedik.
(A teljes pontszám akkor is megadandó, ha a vizsgázó nem adta meg számszerűen a sebességarányokat, hanem a jelenség tárgyalásánál csak az irányokra és a kisebb‑nagyobb relációkra szorítkozott.)
Összesen: 20 pont