a)  Mekkora erővel nyomja a „talaj” egy, az űrhajóban a „földön” álló, \(80\ \mathrm{kg}\) tömegű űrhajós talpát? Mekkora ebben a világban a mesterséges „gravitációs” gyorsulás a talajon?

$F_{\mathrm{ny}}=548\ \mathrm{N}$

$g=6,85\ {\mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}}$

Adatok:

$D=20\ \mathrm{km}$

$T=240\ \mathrm{s}$

$m=80\ \mathrm{kg}$

$h=2\ \mathrm{km}$

$g_{\mathrm{Föld}}=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}$
 

a) Annak felismerése, hogy a keresett nyomóerő egyenlő az űrhajóst körpályán tartó centripetális erővel:

1 pont

Amennyiben a vizsgázó ezt nem írja le, de később egyértelműen ennek megfelelően számol, a teljes pontszám jár.

A keresett nyomóerő felírása és kiszámítása:

2 + 1 pont

$$F_{\mathrm{ny}}=F_{\mathrm{cp}}=m\cdot R\cdot {\omega }^{\! 2}$$

$$F_{\mathrm{ny}}=m\cdot {{D}\over {2}}\cdot {\left({{2\pi }\over {T}}\right)}^2$$

$$F_{\mathrm{ny}}=80\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{km}\cdot {\left({{2\pi }\over {240\ \mathrm{s}}}\right)}^{\! 2}$$

$$F_{\mathrm{ny}}=548\ \mathrm{N}$$

Annak felismerése, hogy a körmozgás centripetális gyorsulását tekinthetjük „gravitációs” gyorsulásnak:

1 pont

A keresett gyorsulás felírása és kiszámítása:

1 + 1 pont

$$g=a_{\mathrm{cp}}=R\cdot {\omega }^2$$

$$g=10\ \mathrm{km}\cdot {\left({{2\pi }\over {240\ \mathrm{s}}}\right)}^{\! 2}$$

$$g=6,85\ {\mathrm{{m}\over {\ s^2}}}$$ vagy

$$g=a_{\mathrm{cp}}={{F_{\mathrm{cp}}}\over {m}}$$

$$g=6,85\ {\mathrm{{m}\over {\ s^2}}}$$

b)  Hány kilométer magasra kell felmásznia egy megfelelően magas toronyházban az űrhajósnak, ha azt akarja elérni, hogy a rá ható mesterséges gravitáció az eredeti érték harmadára csökkenjen?

$6,67\ \mathrm{km}$

b) A keresett nyomóerő felírása és kiszámítása:

2 + 1 pont

$$g'=R'\cdot {\omega }^2$$

$$g'=\mathrm{x}\ \mathrm{km}\cdot {\left({{2\pi }\over {240\ \mathrm{s}}}\right)}^{\! 2}$$

$$g'=2,28\ {\mathrm{{m}\over {s^2}}}$$

(2 pont)

$$\mathrm{x}={{R}\over {3}}={{10}\over {3}}$$

$$\mathrm{x}=3,33\ \mathrm{km}$$

(1 pont)

A keresett magasság:

$$10\ \mathrm{km-x}=6,67\ \mathrm{km}$$

1 pont

c)  Az űrkolónia lakói a hétvégén a földi sportrendezvényekhez hasonlóan szeretnének távol- és magasugróversenyeket szervezni. Ehhez arra van szükségük, hogy az általuk a „talajon” érzékelt mesterséges gravitációs gyorsulás pontosan a földi értékkel legyen egyenlő \(\left(g=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\right)\). Mekkorára kell átállítani ennek érdekében az űrhajó tengely körüli forgásának periódusidejét? (Azt az időt, amely alatt körbefordul a tengelye körül a henger.)

$T'\approx 200\ \mathrm{s}$

c) A keresett periódusidő felírása és kiszámítása:

4 pont
(bontható)

Mivel

$$g''=R\cdot {{\omega }^{'}}^2=g_{\mathrm{Föld}}$$

(1 pont)

tehát

$$T'=2\pi \sqrt{{{R}\over {g_{\mathrm{Föld}}}}}$$

$$T'\approx 200\ \mathrm{s}$$

(felírás és számítás, 2 + 1 pont)

Összesen: 15 pont