Egy $R=150\ \Omega$‑os ellenállás, egy kapcsoló és egy egyenirányító dióda, valamint egy feszültségforrás felhasználásával áramkört építünk a kapcsolási rajz szerint. Mérjük az áramkörben kialakuló áramerősséget is. Az áramkörre $300\ \mathrm{V}$ csúcsértékű, $50\ \mathrm{Hz}$ frekvenciájú szinuszos váltakozó feszültséget kapcsolunk. A kapcsoló először az $1.$ állásban van.
a) Hogyan alakul az ellenálláson átfolyó áram időbeli változása? Készítsen vázlatos áramerősség‑idő grafikont!
$I_{\mathrm{max}}=2\ \mathrm{A}$
Adatok:
$R=150\ \Omega $
$U_{\mathrm{max}}=300\ \mathrm{V}$
$f=50\ \mathrm{Hz}$
$t=60\ \mathrm{s}$
a) Az áramerősség – idő grafikon elkészítése az első esetben:
3 pont
(bontható)
A megfelelő grafikonnak tükröznie kell, hogy az áramerősség az időnek szinuszos függvénye (1 pont) melynek periódusideje $0,02\ \mathrm{s}$ (1 pont).
A függvény maximális értéke:
$$I_{\mathrm{max}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{R}$$
$$I_{\mathrm{max}}=2\ \mathrm{A}$$
(1 pont)
b) Mennyi hő fejlődik az ellenálláson $1\ \mathrm{perc}$ alatt?
$W=18\ 000\ \mathrm{J}$
b) Az $\mathit{1}\ perc$ alatt fejlődő hő meghatározása az első esetben:
4 pont
(bontható)
Mivel
$$W=P_{\mathrm{eff}}\cdot t$$
(1 pont)
és
$$P_{\mathrm{eff}}=I^2_{\mathrm{eff}}\cdot R$$
$$P_{\mathrm{eff}}=\left(\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\right)^{\!2}\cdot R$$
vagy
$$P_{\mathrm{eff}}=\frac{U^2_{\mathrm{eff}}}{R}$$
$$P_{\mathrm{eff}}=\frac{\left(\displaystyle \frac{U_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\right)^{\!2}}{R}$$
(1 pont)
ezért
$$W=\frac{U^2_{\mathrm{max}}}{2R}\cdot t$$
$$W=\frac{I^2_{\mathrm{max}}}{2}\cdot R\cdot t$$
$$W=18\ 000\ \mathrm{J}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
A kapcsolót átkapcsoljuk a $2.$ állásába, ilyenkor a dióda csak az egyik irányba engedi át az áramot.
c) Készítse el most is az áramerősség‑idő grafikont!
c) Az áramerősség – idő grafikon elkészítése a második esetben:
3 pont
(bontható)
A megfelelő grafikonnak tükröznie kell, hogy az áramerősség minden első félperiódusban szinuszos (1 pont), mint az első esetben, minden második félperiódusban pedig nulla (1 pont). Az áram maximális értéke és periódusideje pedig változatlan (1 pont).
d) Mennyi hő fejlődik az ellenálláson $1\ \mathrm{perc}$ alatt ebben az esetben?
$W'=9000\ \mathrm{J}$
d) Az $\mathit{1}\ perc$ alatt fejlődő hő meghatározása:
2 pont
(bontható)
Mivel az áram a második esetben csak minden második félperiódusban folyik, a teljesítmény az első esetben mérhető teljesítmény fele (1 pont), azaz:
$$W'=\frac{W}{2}$$
$$W'=9000\ \mathrm{J}$$
(1 pont)
Összesen: 12 pont