Egy csillag fényességének periodikus csökkenését egy exobolygó okozza, amely keringése során elhalad a csillag előtt, és ilyenkor egy részét eltakarja. A csillag mért fényességét az alábbi grafikon mutatja az idő függvényében. Egyéb mérésekből kiderült, hogy a bolygó átlagos távolsága az anyacsillagtól $R=1,5\ \mathrm{milliárd\ km}$, és a pályája közelítőleg körnek tekinthető.
$\gamma =6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle \frac{\ N\cdot m^2}{kg^2}}$
a) Mekkora a bolygó keringési ideje?
Körülbelül 30 nap.
Adatok:
$R=1,5\cdot 10^{12}\ \mathrm{m}$
$\gamma =6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle \frac{\ N\cdot m^2}{kg^2}}$
a) Az exobolygó keringési periódusának meghatározása:
3 pont
A grafikonon látható fényességcsökkenések távolságát leolvasva körülbelül 30 nap.
b) Mekkora a csillag tömege?
$M_{\mathrm{csill}}=2,97\cdot 10^{35}\ \mathrm{kg}$
b) A gravitációs vonzás hatására végzett körmozgás dinamikai feltételének helyes értelmezése:
2 pont
$$F_{\mathrm{grav}}=F_{\mathrm{cp}}$$
(Amennyiben a helyes értelmezés csak a későbbi számításból derül ki, teljes pont jár.)
A csillag tömegének meghatározása:
6 pont
(bontható)
$$\gamma \frac{m_{\mathrm{exo}}\cdot M_{\mathrm{csill}}}{R^2}=m_{\mathrm{exo}}\cdot R\cdot \omega^2$$
(az egyenlet jobb, illetve baloldalának helyes felírása 1 + 1 pont)
$$M_{\mathrm{csill}}=\frac{4\pi ^2\cdot R^3}{\gamma \cdot T^2}$$
$$M_{\mathrm{csill}}=\frac{4\pi^2\cdot \left(1,5\cdot 10^{12}\right)^{\! 3}}{6,67\cdot 10^{-11}\cdot (30\cdot 86\ 400)^2}$$
$$M_{\mathrm{csill}}=2,97\cdot 10^{35}\ \mathrm{kg}$$
(rendezés + adatok behelyettesítése + számítás, 2 + 1 + 1 pont)
Összesen: 11 pont