Hieron király egy aranytömböt adott az aranyművesnek, hogy készítsen belőle koronát. A korona elkészült, de a király attól tartott, hogy az aranyműves meglopta őt, és az arany egy részét kicserélte ezüstre. A korona tömege természetesen pontosan megegyezett a király által adott aranydarab tömegével. A király felkérte Arkhimédészt, hogy döntse el a kérdést, vajon tartalmaz-e ezüstöt is a korona. Arkhimédész fürdés közben rájött arra, hogy a korona térfogatát pontosan meg tudja mérni annak vízkiszorítása által, ha egy vízzel teli edénybe meríti a koronát. A korona térfogatát összehasonlítva a koronával megegyező aranydarab térfogatával, az arany és ezüst sűrűségének ismeretében nemcsak a hamisítás ténye, hanem annak mértéke is meghatározható.
$\bigg($Az arany sűrűsége $19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{cm^3}}$, ezüst sűrűsége $10,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{cm^3}}.\bigg)$
A király $1,93\ \mathrm{kg}$ aranyból készíttetett koronát, annak térfogata $5\ \mathrm{cm^3}$-rel meghaladta az $1,93\ \mathrm{kg}$ tömegű aranytömb térfogatát. Hány gramm arany és hány gramm ezüst volt a hamisított korona anyagát alkotó arany‑ezüst ötvözetben?
$m_{\mathrm{a}}=1814\ \mathrm{g}$
$m_{\mathrm{e}}=116\ \mathrm{g}$
Adatok:
$M=1930\ \mathrm{g}$
$\mathit{\Delta} V=5\ \mathrm{cm^3}$
$\varrho_{a}=19,3\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{cm^3}}$
$\varrho_{e}=10,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{cm^3}}$
A korona tényleges térfogatának meghatározása:
3 pont
(bontható)
Mivel az adott tömegű tiszta arany térfogata:
$$V_{\mathrm{a}}=\frac{M}{\varrho_{\mathrm{a}}}$$
$$V_{\mathrm{a}}=100\ \mathrm{cm^3}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
Ezért a korona tényleges térfogata:
$$V=V_{\mathrm{a}}+\mathit{\Delta} V$$
$$V=105\ \mathrm{cm^3}$$
(1 pont)
A koronában lévő arany térfogatának meghatározása:
6 pont
(bontható)
A korona összetevőire felírható:
$$m_{\mathrm{a}}+m_{\mathrm{e}}=M \tag{1}$$
$$\varrho_{a}\cdot V_{a}+\varrho_{e}\cdot V_{e}=M$$
(1 pont)
$$V_{a}+V_{e}=V \tag{2}$$
(1 pont)
A $(2)$ egyenlet segítségével az egyik ismeretlen térfogatot kifejezve:
$$\varrho_{a}\cdot V_{a}+\varrho_{e}\cdot (V-V_{a})=M$$
(1 pont)
tehát
$$V_{a}=\frac{M-\varrho_{e}\cdot V}{\varrho_{a}-\varrho_{e}}$$
$$V_{a}=94\ \mathrm{cm^3}$$
(1 pont)
(rendezés + adatok behelyettesítése + számítás, 1 + 1 + 1 pont)
A koronában lévő arany és ezüst tömegének meghatározása:
1 + 1 pont
$$m_{\mathrm{a}}=V_{\mathrm{a}}\cdot \varrho_{\mathrm{a}}$$
$$m_{\mathrm{a}}=1814\ \mathrm{g}$$
(1 pont)
$$m_{\mathrm{e}}=M-M_{\mathrm{a}}$$
$$m_{\mathrm{e}}=116\ \mathrm{g}$$
(1 pont)
Összesen: 11 pont