a)  Mekkora rugóállandójú kötélre van szükség egy 70 kg-os ugrónál, ha a kötelet ideális rugónak vesszük (a rugóerő a megnyúlással egyenesen arányos és a rugó tümeg nélküli)?

$\displaystyle D=45,8\ \mathrm{\frac{N}{m}}$

Vegyük vizsgálandó rendszernek az embert és a kötelet, és nézzük az energiákat!  Mivel a rendszer testjeire csak konzervatív erők hatnak (nehézségi erő, rugóerő), ezért a mechanikai energia megmarad:

$$E^{\mathrm{mech}}_0=E^{\mathrm{mech}}_1$$

A mechanikai energia most mozgási energiából, helyzeti energiából és rugóenergiából áll. Vegyük a helyzeti energia nullszintjét az ember legalsó pontjába! Ekkor a lefelé tartó folyamat kezdetén (a leugráskor) csak helyzeti energia van (méghozzá $h=134\ \mathrm{m}$ magassággal), a folyamat végén pedig csak rugóenergia (míg mozgási energia csak ezek közben van).

$$mgh=\frac{1}{2}D\cdot (\mathit{\Delta}l)^2$$

Mennyi a rugó $\mathit{\Delta}l$ megnyúlása? Az első 70 méternyi süllyedés szabadesés, azaz ezalatt a kötél még nem nyúlik. Mivel a teljes süllyedés 134 méter, ezért a kötél megnyúlása a legalsó pontban, azaz a maximális megnyúlás:

$$\mathit{\Delta}l=134\ \mathrm{m}-70\ \mathrm{m}$$

$$\mathit{\Delta}l=64\ \mathrm{m}$$

Az adatokat SI-egységekben beírva a mértékegységek elhagyhatók:

$$70\cdot 10\cdot 134=\frac{1}{2}D\cdot 64^2$$

$$D=45,8\ \mathrm{\frac{N}{m}}$$

b)  Mekkora a sportoló legnagyobb gyorsulása a lefelé tartó szakasz során, és hol éri el azt?

$\displaystyle a_{\mathrm{max}}=31,87\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$

Mivel a rugóerő egyenes arányos a megnyúlással, azaz harmonikus erő, így az ember miután a rugó megfeszül, onnantól harmonikus rezgőmozgást fog végezni. Ennek során a legnagyobb gyorsulás a szélső helyzetekben van, tehát a legalsó pontban számított gyorsulás a maximális értékű lesz. Egy test gyorsulását mindig rá ható erők eredője okozza, ezért vizsgáljuk meg, milyen erők hatnak az emberre lagalul! Egyrész az $mg$ nehézségi erő, másrészt az $F_{\mathrm{R}}$ rugóerő. Az ember függőleges egyenes mentén mozog, így elég a függőleges mozgását vizsgálni. Vegyük ezen egyenes mentén pozitív iránynak a felfelé mutatót! Ekkor az emberre felírt Newton II. törvénye:

$$\Sigma F=m\cdot a$$

$$F_{\mathrm{R}}-mg=m\cdot a_{\mathrm{max}}$$

A rugóerő a $Đ$ rugóállandó és a megnyúlás szorzata:

$$F_{\mathrm{R}}=-D\cdot (\mathit{\Delta}l)$$

ahol a mínusz előjel csak amiatt van, mert a megnyúlással ellentétes irányú a rugóerő, de mi most a rugóerő irányát már azzal figyelembe vettük, hogy tudjuk, hogy az alsó pontban felfelé húz, és a pozitív irányuk felfelé van, így a rugóerő előjele most pozitív. A legalsó pontbani megnyúlást és a rugóállandót az előző kérdésből tudjuk:

$$\mathit{\Delta}l=64\ \mathrm{m}$$

$$D=45,8\ \mathrm{\frac{N}{m}}$$

Így alul a rugóerő:

$$F_{\mathrm{R}}=D\cdot (\mathit{\Delta}l)$$

$$F_{\mathrm{R}}=45,8\cdot 64$$

$$F_{\mathrm{R}}=2931\ \mathrm{N}$$

A nehézségi erő:

$$mg=70\cdot 10$$

$$mg=700\ \mathrm{N}$$

Az erőket beírva a dinamika alapegyenletébe a gyorsulást kiszámíthatjuk:

$$F_{\mathrm{R}}-mg=m\cdot a_{\mathrm{max}}$$

$$2931-700=70\cdot a_{\mathrm{max}}$$

$$a_{\mathrm{max}}=31,87\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$

c)  Mekkora a kalandor legnagyobb sebessége a lefelé tartó szakasz során, és hol éri el azt?

$\displaystyle v_{\mathrm{max}}=39,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

Első gondolatunk az lehetne, hogy az ember sebessége a 70 méternyi szabadesés végén a legnagyobb, hiszen onnantól már lassítja a rugóerő. Ez azonban téves gondolat, mert 70 méter megtétele után egy darabig még a rugó megnyúlása annyira kicsi, hogy a rugóerő kisebb, mint a nehézségi erő, így ilyenkor az emberre ható erők eredője még lefelé mutat, vagyis a szabadesést követően egy darabig még tovább gyorsul az ember. Egészen addig, amíg a rugóerő már akkora nem lesz, mint a nehézségi erő. Ebben a pillanatban az ember gyorsulása nulla. Innentől kezdve a (felfelé ható) rugóerő már nagyobb, mint a (lefelé ható) nehézségi erő, így az ember felfelé fog gyorsulni, azaz a (lefelé irányuló) sebessége csökkenni kezd.

Ugyanerre az eredményre máshogy is eljuthatunk. Harmonikus rezgőmozgás során a test sebessége az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a legnagyobb. Az egyensúlyi helyzet pedig ott van, ahol a testre ható erők eredője nulla, vagyis mivel a testre a nehézségi erő és a rugóerő hat (lefelé illetve felfelé), ezért ahol azok azonos nagyságúak. Jelölje $\mathit{\Delta}l_{\mathrm{E}}$ a rugó megnyúlását az egyensúlyi helyzetben!

$$mg=F_{\mathrm{R}}$$

$$mg=D\cdot \mathit{\Delta}l_{\mathrm{E}}$$

Az adatokat SI-egységekben beírva a mértékegységek elhagyhatók:

$$70\cdot 10=45,8\cdot \mathit{\Delta}l_{\mathrm{E}}$$

$$\mathit{\Delta}l_{\mathrm{E}}=15,3\ \mathrm{m}$$

Az itteni sebességet energiákból a legkönnyebb kiszámolni. Vegyük most a helyzeti energia nullszintjét ide, az egyensúlyi helyre! Innen mérve a kezdeti (leugrási) hely $h_0$ magassága a rugó megnyúlásának és a szabadesés útjának az összege:

$$h_0=15,3\ \mathrm{m}+70\ \mathrm{m}$$

$$h_0=85,3\ \mathrm{m}$$

A kezdeti helyzeti energia az egyensúlyi helyzetbe érve eltűnik, pontosabban átalakul rugóenergiává és a maximális mozgási energiává:

$$mgh_0=\frac{1}{2}D\cdot (\mathit{\Delta}l_{\mathrm{E}})^2+\frac{1}{2}mv_{\mathrm{max}}^2$$

Az adatokat SI egységekben beírva:

$$70\cdot 10 \cdot 85,3=\frac{1}{2}\cdot 45,8 \cdot 15,3^2+\frac{1}{2}70\cdot v_{\mathrm{max}}^2$$

amiből:

$$v_{\mathrm{max}}=39,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$