a)  Ha a Föld homogén tömegeloszlású (mindenhol azonos sűrűségű) szilárd gömb lenne, és ásnánk egy efféle, függőleges kutat egészen a Föld középpontjáig, akkor a kútban hogyan alakulna a nehézségi gyorsulás a középpontból indulva felfelé a $r$ magasság függvényében, tehát a $g(r)$ függvény? Jelölje $\varrho$ a Föld sűrűségét és $R$ a sugarát és $G$ a Newton-féle gravitációs törvényben az állandót!

$\displaystyle g(r)=\frac{4 \pi}{3} G \varrho r$

b)  Mekkora mechanikai munkavégzéssel járna az $A$ keresztmetszetű kút kiásása során a $\varrho$ sűrűségű talaj felszínre emelése?

$\displaystyle W=\frac{4}{9} \pi G \varrho^2 A R^3$

Szemeljünk ki a felemelendő talajból egy lapos korong alakú darabol, mely $A$ keresztmetszetű, $\varrho$ sűrűségú, $dr$ magasságú és $r$ távolságban van a középponttól! Ennek a kis darabkának a tömege:

$$dm=\varrho \cdot dV=\varrho A dr$$

Az ezen kis talajdarabka felemeléséhez szükséges elemi munka:

$$dW=\int_{r}^{R} F(x) \, dx$$

A talajdarabkára ható $F(x)$ erő (ha egyenletesen zajlik az emelés) megegyezik a talajdarabkára ható $m\cdot g$ erővel, ezért így számítható, de most a tömegünk nem $m$ hanem $dm$ és a $g$ függ a helytől:

$$F(x)=dm \cdot g(x)$$

Az előző kérdésben láttuk, hogy a $g$ helyfüggése:

$$g(r)=\frac{4}{3} \pi G \varrho r$$

illetve mivel az $r$ most foglalt arra, hogy konkrétan milyen magasságból indulunk, ezért a $g$ helyfüggésének másik változót kell használnunk, legyen $x$ az új változónk

$$g(x)=\frac{4}{3} \pi G \varrho  x$$

Ezt beírva:

$$F(x)=dm \cdot g(x)$$

$$F(x)=dm \cdot \frac{4}{3} \pi G \varrho x$$

Ezt beírva a kis korong felemeléséhez szükséges elemi munka kifejezésbe:

$$dW=\int_{r}^{R} F(x) \, dx$$

$$dW=\int_{r}^{R} dm \cdot \frac{4}{3} \pi G \varrho x \, dx$$

Az intergrálás során állandó tényezőket kiemelve:

$$dW=\frac{4 \pi G \varrho}{3} dm \int_{r}^{R} x \, dx$$

(Felmerülhet bennünk, hogy a kiemelt $dm$ tényező $dm=\varrho A dr$ alapján függ $r$-től, ami szerint integrálunk, de valójában nem, mert miközben a kis $dm$ dömegű talajdarabka halad felfelé, aközben a $dr$ rétegvastagsága nem változik, hanem mindvégig állandó, úgyhogy tényleg kiemelhető az integrálás elé.) 

Az integrál kiszámítása:

$$\int_{r}^{R} x \, dx=\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{r}^{R}=\frac{1}{2}(R^2-r^2)$$

Ez alapján az elemi munka:

$$dW=\frac{4 \pi G \varrho }{3} dm \frac{1}{2}(R^2-r^2)$$

$$dW=\frac{4 \pi G \varrho }{6} dm\left(R^2-r^2\right)$$

Tudjuk a $dm$ kis tömegről, hogy $dm=\varrho A dr$ alakú, ami alapján:

$$dW=\frac{4 \pi G \varrho }{6}  \cdot \varrho A dr \left(R^2-r^2\right)$$

$$dW=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6} \left(R^2-r^2\right) dr$$

De ez csak az $r$ magasságban lévő kis talajdatabka felhozásához szükséges munka, és ilyen talajdarabkák $r=0$ értéktől egészen $r=R$ értékig vannak, így ezt még integrálni kell eszerint:

$$W=\int_{0}^{R}dW=\int_{0}^{R}\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6}\left(R^2-r^2\right)dr$$

A konstans tényezőket kiemelve:

$$W=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6}\int_{0}^{R}dW=\int_{0}^{R}\left(R^2-r^2\right)dr$$

Kiintegrálva:

$$W=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6} \left[rR^2-\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{R}$$

$$W=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6} \left(R^3-\frac{R^3}{3} \right)$$

$$W=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{6} \cdot \frac{2}{3} R^3$$

$$W=\frac{4 \pi G \varrho^2 A }{9}  R^3$$

$$W=\frac{4}{9} \pi G \varrho^2 A R^3$$