a)  Meglátunk egy csillogó fémpénzt az 1 méter mély pancsolómedence alján. Ha pont függőlegesen felülről nézzük,. milyen mélységbe "látjuk"?

$d=0,75\ \mathrm{m}$

Készítsünk ábrát! Indítsunk a pénzérme egy $T$ tárgypontjából szimmetrikusan, kissé ferdén két felfelé induló sugarat, melyek a vízfelszínt $\alpha$ beesési szöggel érik el, és ott megtörve $\beta$ törési szöggel lépnek ki a levegőbe. Mivel a levegő törésmutatója kisebb a vízénél, a levegő oldalán nagyobb lesz a szög:

A fenti megfigyelő a levegőben haladó sugarakat úgy látja, mintha egy közös pontból jönnének, ez a $K$ képpont:

A feladat azt kérdezi, hogy a $K$ képpont milyen $d$ távolságban (mélységben) van a vízfelszín alatt, ha a $T$ tárgypont ismert $D$ távolságban (mélységben) van a vízfelszíntől:

Ahhoz, hogy a $d$ távolságot meghatározzuk, kell valami egyenlet (egyenletek), melyben benne van a keresett $d$, a többi tag pedig ismert. Ehhez tekintsül a $TCF_{\triangle}$ háromszöget és a $KCF_{\triangle}$ háromszöget!

Ezekről az alábbiak mondhatók el:

• derékszögűek (ami amiatt jó, mert trigonometrikus összefüggések írhatók rájuk fel)
• tartalmazzák az $\alpha$ beesési szöget és a $\beta$ törési szöget
• tartalmazzák a számunkra fontos $d$ és $D$ távolságokat
• van egy közös oldaluk, a $CF$ szakasz, ami legyen $s$ hosszúságú

Ez alapján ezt a két egyenletet írhatjuk fel:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{s}{D}$$

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{s}{d}$$

Fejezzük ki mindkét egyenbletből az $s$ hossz:

$$s=D\cdot \operatorname{tg}\alpha$$

$$s=d\cdot \operatorname{tg}\beta$$

Ha két egyenlet bal oldalai megegyeznek akkor a jobb oldalaik is megegyeznek:

$$D\cdot \operatorname{tg}\alpha=d\cdot \operatorname{tg}\beta$$

Ebből a keresett $d$ hossz, a "látszólagos mélység":

$$d=D \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta}$$

A vízfelszínen történő fénytörésre felírhatjuk a Snellius-Descartes-törvényt:

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{n_{\mathrm{\ell}}}{n_{\mathrm{v}}}$$

ahol $n_{\mathrm{\ell}}$ a levegő törésmutatója, ami $n_{\mathrm{\ell}}=1$, az $n_{\mathrm{v}}$ pedig a vízé, ami $n_{\mathrm{v}}=1,33$.

A gond csak az, hogy az egyik egyenletünkben a szögek szinuszai vannak, a másikban meg a tangensei. Hát, az nem ugyanaz. Vagy mégis?

Mivel a szemünk pupillája, amivel a levegőbe kilépő fényt megfigyeljük, csupán pár milliméter átmérőjű, ezért mondhatjuk, hogy az $\alpha$ és $\beta$ szögek csak nagyon kicsik lehetnek. Ilyenkor pedig jó közelítésel fennáll, hogy

$$\alpha\approx \sin{\alpha} \approx \operatorname{tg}\alpha$$

Így mivel nekünk a törési törvényben a szögek szinuszai vannak, az

$$d=D \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta}$$

egyenletünket átírjuk "szibuszosra:

$$d\approx D \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}$$

Így már harmonizáltuk is a törési törvénnyel:

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{n_{\mathrm{\ell}}}{n_{\mathrm{v}}}$$

A két egyenletből:

$$d=D\cdot \frac{n_{\mathrm{\ell}}}{n_{\mathrm{v}}}$$

Tehát ahányszor kisebb a levegő törésmutatója a vízénél, annyiszor közelebb fogjuk látni a vízben lévő tárgyat:

$$d=D\cdot \frac{1}{1,33}$$

$$d=\frac{D}{1,33}$$

ami $D=1\ \mathrm{m}$-es mélység esetén:

$$d=0,75\ \mathrm{m}$$