Egy varrógéptű varrás közben függőleges egyenes mentén harmonikus rezgőmozgást végez. Mozgása legalsó és legfelső pontja között $4\ \mathrm{cm}$ a távolság. A gép 9 másodperc alatt 24 öltést ejt. (A varrógép tűje a rezgés egy teljes periódusa alatt egy öltést készít el.)
a) Mekkora a tű legnagyobb sebessége és a legnagyobb gyorsulása?
A harmonikus rezgőmozgás maximális sebessége:
$v_{\mathrm{max}}=33,5\ \displaystyle \mathrm{{cm}\over {{s}}}$
A harmonikus rezgőmozgás maximális gyorsulása:
$a_{\mathrm{max}}=562\ \displaystyle \mathrm{{cm}\over {{\ s^2}}}$
Adatok:
\(\mathit{\Delta} x=4\ \mathrm{cm}\)
\(t=9\ \mathrm{s}\)
\(N=24\ \mathrm{öltés}\)
\(D=1\ \mathrm{cm}\)
\(\mathit{\Delta} l=4\ \mathrm{\displaystyle \frac{mm}{öltés}}\)
a) A harmonikus rezgőmozgás amplitúdójának felírása és kiszámítása:
\[A=\displaystyle \frac{\mathit{\Delta} x}{2}\]
\[A=2\ \mathrm{cm}\]
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
A harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájának felírása és kiszámítása:
$$\omega =2\pi \cdot {{24}\over {9\ \mathrm{s}}}$$
$$\omega=16,76\ {{1}\over {\mathrm{s}}}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
A harmonikus rezgőmozgás maximális sebességének felírása és kiszámítása:
$$v_{\mathrm{max}}=A\cdot \omega $$
$$v_{\mathrm{max}}=33,5\ \mathrm{{cm}\over {{s}}}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
A harmonikus rezgőmozgás maximális gyorsulásának felírása és kiszámítása:
$$a_{\mathrm{max}}=A\cdot {\omega }^2$$
$$a_{\mathrm{max}}=562\ \mathrm{{cm}\over {{\ s^2}}}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
b) Tegyük fel, hogy a cérna egy \(1\ \mathrm{cm}\) átmérőjű, lassan elforduló cérnaorsóról tekeredik le. Hányat fordul egy perc alatt a cérnaorsó, ha egy öltéshez \(4\ \mathrm{mm}\) cérnára van szükség?
$R=20,4\approx 20$
b) Az egy perc alatt végzett öltések számának felírása és kiszámítása:
$$N=60\ \mathrm{s}\cdot {{24}\over {9\ \mathrm{s}}}$$
$$N=160$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
Az orsó kerületének megadása:
$$K=D\cdot \pi $$
$$K=31,4\ \mathrm{mm}$$
1 pont
Az egy perc alatt felhasznált cérna hosszának felírása és megadása:
$$l=N\cdot {\mathit{\Delta}}l$$
$$l=640\ \mathrm{mm}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
Az orsó percenkénti fordulatszámának felírása és megadása:
$$R={{l}\over {K}}$$
$$R=20,4\approx 20$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
1 + 1 pont
Összesen: 15 pont