a)  Az amerikai rokonoknak elküldjük a meggyes lepény receptjét, amiben az szerepel, hogy \(190\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletre kell előmelegíteni a sütőt. Hány \(\mathrm{{}^\circ F}\)-re kell beállítaniuk az amerikai sütőt?

\(374\ \mathrm{{}^\circ F}\)-re

A víz fagyáspontja és forráspontja között a Fahrenheit-skálán

\[212\ \mathrm{{}^\circ F}-32\ \mathrm{{}^\circ F}=180\ \mathrm{{}^\circ F}\]

lépésközt haladunk, ugyanekkor a Celsius skálán viszont

\[100\ \mathrm{{}^\circ C}-0\ \mathrm{{}^\circ C}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

lépésközt. A lépésközök viszonyáról ez alapján elmondhatjuk, hogy

\[\Delta T=180\ \mathrm{{}^\circ F}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

vagy ez alapján a lépésközökre:

\[\mathrm{{}^\circ C}=\frac{180\ \mathrm{{}^\circ F}}{100}\]

Keressük, hogy a $190\ \mathrm{{}^\circ C}$ hány fokot jelent a Fahrenheit-skálán. Induljunk el a $100\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletről, ami egyúttal $212\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletet is jelent. A Celsius-skálán innen a kérdéses $190\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletig 90 lépéssel jutunk el. Hány lépést jelent ugyanez a Fahrenheit-skálán? Alkalmazzuk az átváltási képletünket:

\[\Delta T=90\ \mathrm{{}^\circ C}=90\cdot \frac{180\ \mathrm{{}^\circ F}}{100}=162\ \mathrm{{}^\circ F}\]

De ez még nem a végeredmény, hiszen ennyi lépést nem a null Fahrenheit fokról indulva kell megtennünk, hanem a kiindulási $212\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletről. Ezért a megoldás:

\[212\ \mathrm{{}^\circ F}+162\ \mathrm{{}^\circ F}=374\ \mathrm{{}^\circ F}\]

b)  A Kalifornia államban található Death Valley (Halál-völgy) nevű sivatagos területen mérték az USA történetében a legmagasabb kültéri hőmérsékletet, ami \(134\ \mathrm{{}^\circ F}\) volt. Hány fokot jelent ez Celsius-skálán? (Számos filmet forgattak itt, például 1977-ben a legelső Star Wars-t, ami később a végeláthatatlan sorozat 4. része lett.)

$56,7\ \mathrm{{}^\circ C}$

A $134\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklethez úgy juthatunk el, hogy a $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletről $102\ \mathrm{{}^\circ F}$ lépést teszünk a pozitív irányba. Ez a Celsius skálán hány lépést jelent? Induljunk ki az átváltási képletünkből:

\[\Delta T=180\ \mathrm{{}^\circ F}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

amiből

\[\mathrm{{}^\circ F}=\frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

Helyettesítsük ezt be:

\[\Delta T=102\ \mathrm{{}^\circ F}\]

\[\Delta T=102\cdot \frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\approx 56,7\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Tehát a kiindulási pontból, ami $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklet volt, azaz $0\ \mathrm{{}^\circ C}$, a pozitív irányba kell mennünk $56,7\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést, így a végeredmény, vagyis a legmelegebb amerikai hőmérséklet:

\[134\ \mathrm{{}^\circ F}=0\ \mathrm{{}^\circ C}+56,7\ \mathrm{{}^\circ C}\]

\[134\ \mathrm{{}^\circ F}=56,7\ \mathrm{{}^\circ C}\]

c)  Az abszolút nulla hőmérséklet \(-273,15\ \mathrm{{}^\circ C}\). Hány fok ez a Fahrenheit-skálán?

$-459,67\ \mathrm{{}^\circ F}$

Az abszolút nulla hőmérséklethez úgy juthatunk el, hogy a $0\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletről elindulva a negatív irányba haladunk, azaz $-273,15\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést teszünk a Celsius-skálán. Mennyi lépést jelent ez a Fahrenheit-skálán? Használjuk az átváltási képletünket:

\[\Delta T=180\ \mathrm{{}^\circ F}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

vagy ez alapján a lépésközökre:

\[\mathrm{{}^\circ C}=\frac{180\ \mathrm{{}^\circ F}}{100}\]

Helyettesítsük be ezt:

\[\Delta T=-273,15\ \mathrm{{}^\circ C}\]

\[\Delta T=-273,15\cdot \frac{180\ \mathrm{{}^\circ F}}{100}=-491,67\ \mathrm{{}^\circ F}\]

De ez még nem a végeredmény, hiszen ez csak a Fahrenheit-lépések száma a kiindulási pontból, ami kiindulópont

\[0\ \mathrm{{}^\circ C}=32\ \mathrm{{}^\circ F}\]

hőmérséklet volt. Így a végeredmény, vagyis az abszolút nulla hőmérséklet:

\[32\ \mathrm{{}^\circ F}-491,67\ \mathrm{{}^\circ F}=-459,67\ \mathrm{{}^\circ F}\]

Ezért ha egy ismeretterjesztő filmben \(-273,15\ \mathrm{{}^\circ}\)-nál  alacsony hőmérsékletről van szó, ami a Celsius-skálán egyszerűen lehetetlen, akkor annak oka az lehet, hogy azt a hőfokot Fahrenheit-ben értik. Természetesen \(-459,67\ \mathrm{{}^\circ}\)-nál hidegebb még a Fahrenheit-skálán értve sem lehetséges.

d)  Fahrenheit német fizikus volt, aki a hőmérsékleti skálája 1724-es megalkotásakor arra törekedett, hogy a természetben sose forduljon elő negatív hőmérséklet (a Fahrenheit számára ötletadó, 1701-es Rømer-skála is törekedett erre, de kiderült, hogy kemény teleken előfordul a nullpontjánál hidegebb). Ezért Fahrenheit a lakóhelyének (Danzig nevű  porosz város, ma a lengyelországi Gdańsk) leghidegebb, 1708/09-es telének hőmérsékletét választotta a skálája nullpontjának. A feltételezés, hogy ennél sosem lesz hidegebb, nyilvánvalóan szűklátókörű volt, pláne ha a szomszédos Oroszország csontig hatoló hideg teleire gondolunk. Az alábbi hőmérőn az látszik, hogy a \(0\ \mathrm{{}^\circ F}\) közel esik a \(-20\ \mathrm{{}^\circ C}\)-hoz. De pontosan hány \(\mathrm{{}^\circ C}\) volt a nulla Fahrenheit-nek választott leghidegebb danzigi tél?

$-17,8\ \mathrm{{}^\circ C}$

A Fahrenheit-skála nullpontjához az ismert hőmérsékletekről úgy juthatunk el, hogy például a $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsélkettől negatív irányba lépünk 32 lépést, azaz $-32\ \mathrm{{}^\circ F}$ lépést. Ez hány lépést jelent a Celsius-skálán? Az előző kérdésben láttuk, hogy a váltószám:

\[\mathrm{{}^\circ F}=\frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

Helyettesítsük ezt be:

\[\Delta T=-32\ \mathrm{{}^\circ F}\]

\[\Delta T=-32\cdot \frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\approx -17,8\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Tehát a kiindulási pontból, ami $0\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérséklet volt, most $-17,8\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést kell tennünk, így nem nehéz kiszámolnunk, hogy hová jutunk, vagyis hogy hány Celsius fok a Fahrenheit skála nullpontja:

\[0\ \mathrm{{}^\circ F}=0\ \mathrm{{}^\circ C}-17,8\ \mathrm{{}^\circ C}=-17,8\ \mathrm{{}^\circ C}\]

e)  Fahrenheit eredetileg a saját testhőmérsékletét vette \(100\ \mathrm{{}^\circ F}\)-nek. Hány \(\mathrm{{}^\circ C}\)-nak felel ez meg pontosan?

\(37,78\ \mathrm{{}^\circ C}\)

A $100\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklethez úgy juthatunk el, hogy a $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletről $68\ \mathrm{{}^\circ F}$ lépést teszünk a pozitív irányba. Ez a Celsius skálán hány lépést jelent? Induljunk ki az átváltási képletünkből:

\[\Delta T=180\ \mathrm{{}^\circ F}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

amiből

\[\mathrm{{}^\circ F}=\frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

Helyettesítsük ezt be:

\[\Delta T=68\ \mathrm{{}^\circ F}\]

\[\Delta T=68\cdot \frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\approx 37,78\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Tehát a kiindulási pontból, ami $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklet volt, azaz $0\ \mathrm{{}^\circ C}$, a pozitív irányba kell mennünk $37,78\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést, így a végeredmény, vagyis Fahrenheit testhőmérséklete:

\[100\ \mathrm{{}^\circ F}=0\ \mathrm{{}^\circ C}+37,78\ \mathrm{{}^\circ C}\]

\[100\ \mathrm{{}^\circ F}=37,78\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Vagyis Fahrenheitnek a hőmérsékleti skálája megalkotásakor határozott hőemelkedése volt, hiszen az egészséges emberi testhőmérséklet \(36\ \mathrm{{}^\circ C}\) és \(37\ \mathrm{{}^\circ C}\) közötti, és \(38\ \mathrm{{}^\circ C}\) felett már lázról beszélünk.

f)  Az alábbi Fahrenheit-Celsius "dupla skálás" hőmérőn úgy látszik, hogy a \(-40\ \mathrm{{}^\circ C}\) és a \(-40\ \mathrm{{}^\circ F}\) az egybeesik. Vajon ezek pontosan megegyeznek, vagy csak nagyjából, a hőmérő festésének szintjén azonosak, de precízen számítva picit eltérnek?

Pontosan egybeesnek.

$-40\ \mathrm{{}^\circ C}=-40\ \mathrm{{}^\circ F}$

A kérdés eldöntéséhez számítsuk ki, hogy a $-40\ \mathrm{{}^\circ F}$ az a Celsius-skálán hány fok.

A $-40\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletre az ismert hőmérsékletekről például úgy juthatunk el, hogy a $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsélketről indulva negatív irányba lépünk 72 lépést, azaz $-72\ \mathrm{{}^\circ F}$ lépést. Ez hány lépést jelent a Celsius-skálán? Az előző kérdésben láttuk, hogy a váltószám:

\[\mathrm{{}^\circ F}=\frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

Helyettesítsük ezt be:

\[\Delta T=-72\ \mathrm{{}^\circ F}\]

\[\Delta T=-72\cdot \frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}=-40\ \mathrm{{}^\circ C}\]

A Celsius-skálán most a kiindulási hőmérsékletünk $0\ \mathrm{{}^\circ C}$ volt, innen $-40\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést megtéve pontosan a $-40\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérséklethez jutunk el, vagyis a \(-40\ \mathrm{{}^\circ}\) a Celsius és a Fahrenheit skálán azonos.

g)  Az alábbi képen egy Celsius és Fahrenheit skálázású hőmérő látható. Úgy látszik rajta, hogy \(50\ \mathrm{{}^\circ F}=10\ \mathrm{{}^\circ C}\). Ez pontosan igaz, vagy csak nagyjából?

Pontosan igaz.

Az $50\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklethez úgy juthatunk el, hogy a $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérsékletről $18\ \mathrm{{}^\circ F}$ lépést teszünk a pozitív irányba. Ez a Celsius skálán hány lépést jelent? Induljunk ki az átváltási képletünkből:

\[\Delta T=180\ \mathrm{{}^\circ F}=100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

amiből

\[\mathrm{{}^\circ F}=\frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

Helyettesítsük ezt be:

\[\Delta T=18\ \mathrm{{}^\circ F}\]

\[\Delta T=18\cdot \frac{100\ \mathrm{{}^\circ C}}{180}\]

\[\Delta T=10\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Tehát a kiindulási pontból, ami $32\ \mathrm{{}^\circ F}$ hőmérséklet volt, azaz $0\ \mathrm{{}^\circ C}$, a pozitív irányba kell mennünk $10\ \mathrm{{}^\circ C}$ lépést, így a végeredmény:

\[50\ \mathrm{{}^\circ F}=0\ \mathrm{{}^\circ C}+10\ \mathrm{{}^\circ C}\]

\[50\ \mathrm{{}^\circ F}=10\ \mathrm{{}^\circ C}\]