Egy eredetileg \(300\ \mathrm{cm}\) hosszú, középen tengelyezett mérleghinta egyik ülőrésze letörött. A letört rész hossza \(40\ \mathrm{cm}\). A hinta tömege ekkor már csak \(110\ \mathrm{kg}\). Egy gyerek a letört oldal végére ülve a hintát egyensúlyban tartja.
Körülbelül mekkora a gyerek tömege? (A hinta homogén tömegeloszlású hasábnak tekinthető.)
$M=20\ \mathrm{kg}$
I. megoldás
Az I. megoldásban a hintát gondolatban jobb és bal oldali részre bontjuk, és így alkalmazzuk az egyensúlyi feltételt.
\(L=300\ \mathrm{cm}\)
\(\mathit{\Delta} L=40\ \mathrm{cm}\)
\(m=110\ \mathrm{kg}\)
A hinta egyes részhosszainak és résztömegeinek meghatározása:
1 + 2 pont
(bontható)
\[L_{\mathrm{b}}=\frac{L}{2}-\mathit{\Delta} L=110\ \mathrm{cm}\]
Felhasználva, hogy a hinta esetén a tömeg a hosszúsággal arányos:
\[m_{\mathrm{b}}=\frac{L_{\mathrm{b}}}{L_{\mathrm{b}}+L_{\mathrm{j}}}\cdot m\]
\[m_{\mathrm{b}}=46,54\ \mathrm{kg}\]
\[m_{\mathrm{j}}=m-m_{\mathrm{b}}\]
\[m_{\mathrm{j}}=110\ \mathrm{kg}-46,54\ \mathrm{kg}\]
\[m_{\mathrm{j}}=63,46\ \mathrm{kg}\]
Ábra készítése, az erők berajzolása:
2 pont
(bontható)
Az egyensúly forgatónyomatéki feltételének alkalmazása, a gyermek tömegének (M) meghatározása:
3 + 1 + 1 pont
(bontható)
\[M\cdot g\cdot L_{\mathrm{b}}+m_{\mathrm{b}}\cdot g\cdot \frac{L_{\mathrm{b}}}{2}=m_{\mathrm{j}}\cdot g\cdot \frac{L_{\mathrm{j}}}{2}\]
\[M=\frac{m_{\mathrm{j}}\cdot L_{\mathrm{j}}-m_{\mathrm{b}}\cdot L_{\mathrm{b}}}{2L_{\mathrm{b}}}\]
\[M=\frac{63,46\ \mathrm{kg}\cdot 150\ \mathrm{cm}-46,54\ \mathrm{kg}\cdot 110\ \mathrm{cm}}{2\cdot 110\ \mathrm{cm}}\]
\[M=20\ \mathrm{kg}\]
Összesen: 10 pont
II. megoldás
A II. megoldásban a hintát nem bontjuk részekre, hanem a teljes hintára ható gravitációs erőt a hinta tömegközéppontjába koncentráljuk, és így alkalmazzuk az egyensúlyi feltételt.
A hinta tömegközéppontja és a forgásengely távolságának meghatározása:
2 pont
(bontható)
A forgástengely
\[\frac{L}{2}=150\ \mathrm{cm}\]
míg a tömegközéppont
\[\frac{L-\mathit{\Delta} L}{2}=130\ \mathrm{cm}\]
távolságra van a hinta jobb oldali végétől. A forgástengely és a tömegközéppont távolsága tehát:
\[L_{\mathrm{tkp}}=150\ \mathrm{cm}-130\ \mathrm{cm}=20\ \mathrm{cm}\]
A gyermek forgástengelytől mért távolságának meghatározása:
1 pont
\[L_{\mathrm{gy}}=\frac{L}{2}-\mathit{\Delta} L\]
\[L_{\mathrm{gy}}=110\ \mathrm{cm}\]
Ábra készítése, az erők berajzolása:
2 pont
(bontható)
Az egyensúly forgatónyomatéki feltételének alkalmazása, a gyermek tömegének (M) meghatározása:
3 + 1 + 1 pont
(bontható)
\[M\cdot g\cdot L_{\mathrm{gy}}=m\cdot g\cdot L_{\mathrm{tkp}}\]
\[M=\frac{L_{\mathrm{tkp}}}{L_{\mathrm{gy}}}\cdot m\]
\[M=\frac{20\ \mathrm{cm}}{110\ \mathrm{cm}}\cdot 110\ \mathrm{kg}\]
\[M=20\ \mathrm{kg}\]
Összesen: 10 pont