Mekkora ellenállást kell párhuzamosan kapcsolni a \(20\ \Omega\)‑os ellenállással, hogy a \(10\ \Omega\)‑os ellenállásra eső teljesítmény megduplázódjon? (A feszültségforrás ellenállása elhanyagolható.)

$R_3=25,5\ \Omega $

Másik megoldás:

Kövessük a javítókulcs jelöléseit:

\(R_1=10\ \Omega\)

\(R_2=20\ \Omega\)

azaz 1-es alsó indexszel jelöljük a \(10\ \Omega\)-os ellenállás paramétereit, és 2-es alsó indexszel a \(20\ \Omega\)-os ellenállás paramétereit. A második esetet \(B\) indexszel jelöljük.

Az eredeti áramkörben az \(R_1\) és \(R_2\) ellenállások van sorba kapcsolva, így az áramforrás feszültsége az ellenállások arányában szétoszlik. Mivel az \(R_2\) ellenállása 2-szer nagyobb, mint az \(R_1\) ellenállása, ezért rajta 2-szer nagyobb feszültség fog esni. Ez úgy lehetséges, ha a teljes \(U\) feszültség \(2/3\) része rajta esik, míg az \(R_1\)-n a fezültség maradék \(1/3\) rész:

\[U_2=\frac{2}{3}U\]

\[U_1=\frac{1}{3}U\]

Mi a helyzet az áramokkal? A soros kapcsolás miatt az áramkör eredő ellenállása az ellenállások összegeként adódik:

\[R_{\mathrm{e}}=10\ \Omega+20\ \Omega=30\ \Omega\]

Ez alapján az áramkörben erdetileg folyó áram nagysága:

\[I=\frac{U}{R_{\mathrm{e}}}\]

\[I=\frac{U}{30}\]

Ennyi folyik mindkét ellenálláson,hiszen soros a kapcsolásuk.

Ahhoz, hogy az \(R_1\) ellenállásnak duplázódjon a teljesítménye, ahhoz vajon hogyan kell megnövekednie a rajta eső feszültségnek? Nézzük a Joule-hő teljesítményképletei közül azt, amiben az adott ellenállás mellett a feszültség is szerepel:

\[P=\frac{\ \ U^2}{R}\]

Tehát a második esetben (amit \(B\) indexszel jelölünk) az \(R_1\)-en eső feszültség ennyi lesz:

\[U_{\mathrm{1B}}=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot U\]

\[U_{\mathrm{1B}}=\frac{\sqrt{2}}{3}U\]

Ugyanígy elmondhatjuk róla azt is, hogy

\[P=I^2\cdot R\]

alapján a teljesítményének duplázódásához az áramerősségének is \(\sqrt{2}\)-szeresen kell megnövekednie:

\[I_{\mathrm{1B}}=\sqrt{2}\frac{U}{30}\]

\[I_{\mathrm{1B}}=\frac{\sqrt{2}}{30}U\]

Mennyi feszültség jut ("marad") ekkor az \(R_2\) ellenállásra az összes \(U\) feszültségből? Ez egy kivonásssal adódik, hiszen az egésu \(U\) feszültség szétoszlik az \(R_1\) és az \(R_2\) ellenállásokon:

\[U_{\mathrm{2B}}=U-U_{\mathrm{1B}}\]

\[U_{\mathrm{2B}}=U-\sqrt{2}\cdot U_1\]

\[U_{\mathrm{2B}}=U\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\]

\[U_{\mathrm{2B}}=U\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)\]

Ez alapján az \(R_2\) ellenálláson a most átfolyó áram:

\[I_{\mathrm{2B}}=\frac{U_{\mathrm{2B}}}{20}\]

\[I_{\mathrm{2B}}=\frac{U\left(\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}{20}\]

\[I_{\mathrm{2B}}=\frac{3-\sqrt{2}}{60}U\]

Az \(R_2\)-vel párhuzamosan bekötött ismeretlen \(R_3\) ellenállást szeretnénk megkapni. Ehhez felírjuk rá az Ohm-törvényt:

\[R_3=\frac{U_{\mathrm{3B}}}{I_{\mathrm{3B}}}\]

A rajta eső \(U_{\mathrm{3B}}\) feszültségről tudjuk, hogy ugyanannyi, mint a vele párhuzamosan lévő \(R_2\) mostani feszültsége, tehát

\[U_{\mathrm{3B}}=U_{\mathrm{2B}}=U\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)\]

Az \(R_3\) ellenálláson átfolyó áram pedig annyi, amennyi a főágban (azaz az \(R_1\)-en) folyó áramból "megmarad", ha kivonjuk belőle az \(R_2\)-n folyó áramot:

\[I_{\mathrm{3B}}=\frac{\sqrt{2}}{30}U-\frac{3-\sqrt{2}}{60}U\]

Tehát a keresett \(R_3\) ellenállás:

\[R_3=\frac{U\left(\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{30}U-\frac{3-\sqrt{2}}{60}U}\]

\[R_3=\frac{\left(\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{30}-\frac{3-\sqrt{2}}{60}}\]

\[R_3=\frac{U\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{60}U-\frac{3-\sqrt{2}}{60}U}\]

\[R_3=\frac{\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-(3-\sqrt{2})}{60}}\]

\[R_3=\frac{\displaystyle \frac{3-\sqrt{2}}{3}}{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-3}{60}}\]

\[R_3=\frac{3-\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{60}{3\sqrt{2}-3}\]

\[R_3=\frac{3-\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-3}\cdot 20\]

\[R_3=25,523\ \Omega\]

\(R_1=10\ \Omega\)

\(R_2=20\ \Omega\)

\(P_{\mathrm{1B}}=2P_{\mathrm{1A}}\)

 

Az $\textit{(A)}$ eset eredő ellenállásának meghatározása:

1 pont

\[R_{\mathrm{eA}}=R_1+R_2\]

\[R_{\mathrm{eA}}=30\ \Omega\]

A $\textit{(B)}$ eset eredő ellenállásának meghatározása:

1 pont

\[2=\frac{P_{\mathrm{1B}}}{P_{\mathrm{1A}}}\]

1 pont

$$\frac{R_1\cdot I_{\mathrm{B}}^2}{R_1\cdot I_{\mathrm{A}}^2}=\frac{I_{\mathrm{B}}^2}{I_{\mathrm{A}^2}}$$

1 pont

\[2=\frac{I_{\mathrm{B}}^2}{I_{\mathrm{A}}^2}=\frac{\left(\displaystyle \frac{U}{R_{\mathrm{eB}}}\right)^{\! 2}}{\left(\displaystyle \frac{U}{R_{\mathrm{eA}}}\right)^{\! 2}}=\frac{R_{\mathrm{eA}}^2}{R_{\mathrm{eB}}^2}\]

1 pont

\[R_{\mathrm{eB}}=\frac{R_{\mathrm{eA}}}{\sqrt{2}}=\frac{30\ \Omega}{\sqrt{2}}=21,21\ \Omega\]

1 pont

A $\textit{(B)}$ eset eredő ellenállásának felírása a kapcsolás alapján:

\[R_{\mathrm{eB}}=R_1+R_{23}\]

1 pont

\(R_{23}\)-ra:

\[\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\]

1 pont

Az \(R_{\mathit{23}}\) meghatározása:

1 pont

\[R_{23}=R_{\mathrm{eB}}-R_1\]

\[R_{23}=21,21\ \Omega-10\ \Omega\]

\[R_{23}=11,21\ \Omega\]

Az \(R_{\mathit{3}}\) meghatározása:

\[\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\]

alapján:

\[R_3=\frac{R_{23}\cdot R_2}{R_2-R_{23}}\]

\[R_{3}=\frac{11,21\ \Omega\cdot 20\ \Omega}{20\ \Omega-11,21\ \Omega}\]

1 pont

\[R_3=25,5\ \Omega\]

Összesen: 10 pont