A mellékelt ábra adott mennyiségű nitrogéngáz izotermáit, és a gáz tényleges állapotváltozását (A$\to$B) mutatja nyomás-térfogat grafikonon.
$\bigg($Az A állapotban a gáz állapothatározói: \(V_1 = 22\ \mathrm{dm^3}\); \(p_1 = 132,2\ \mathrm{kPa}\); \(T_1 = 350\ \mathrm{K}\); a B állapotban pedig: \(V_2 =32\ \mathrm{dm^3}\); \(p_2 =78,2\ \mathrm{kPa}\). A nitrogéngáz fajhője állandó térfogaton, illetve nyomáson: $c_V=741\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot K}}$; $c_p=1038\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot K}}$; moltömege $M=28\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{mol}}$; a gázállandó $R=8,31\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{mol\cdot K}}.\bigg)$
a) Határozza meg a gáz tömegét!
$m=0,0280\ \mathrm{kg}=28\ \mathrm{g}$
Adatok:
\(V_1=22\ \mathrm{dm^3}\)
\(p_1=132,2\ \mathrm{kPa}\)
\(T_1=350\ \mathrm{K}\)
\(V_2=32\ \mathrm{dm^3}\)
\(p_2=78,2\ \mathrm{kPa}\)
\(c_V=741\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot K}}\)
\(c_P=1038\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot K}}\)
\(M=28\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{mol}}\)
\(R=8,31\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{mol\cdot K}}\)
a) A $N_{\textit{2}}$-gáz tömegének meghatározása az állapotegyenletből:
\[p_1V_1=\frac{m}{M}RT_1\]
1 pont
\[m=\frac{p_1V_1M}{RT_1}\]
\[m=\frac{132,2\cdot 10^3\ \mathrm{Pa}\cdot 22\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}\cdot 0,028\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{mol}}}{8,31\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{mol\cdot K}\cdot 350\ K}}\]
\[m=0,0280\ \mathrm{kg}=28\ \mathrm{g}\]
1 pont
b) Határozza meg a gáz hőmérsékletét a B állapotban!
$T_2=301\ \mathrm{K}$
b) A gáz B állapotbeli \(T_{\textit{2}}\) hőmérsékletének meghatározása az egyesített gáztörvényből vagy az állapotegyenletből:
\[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]
1 pont
\[T_2=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}T_1\]
\[T_2=\mathrm{\frac{78,2\ kPa\cdot 32\ dm^3}{132,2\ kPa\cdot 22\ dm^3}}\cdot 350\ \mathrm{K}\]
\[T_2=301\ \mathrm{K}\]
1 pont
c) Határozza meg a gáz belső energiájának megváltozását az (A$\to$B) állapotváltozás során!
$\mathit{\Delta} E=-1017\ \mathrm{J}$
c) A gáz energiaváltozásának meghatározása a hőmérsékletváltozásból:
\[\mathit{\Delta} E=c_Vm(T_2-T_1)\]
vagy
\[\mathit{\Delta} E=\frac{f}{2}Nk\mathit{\Delta} T\]
\[\mathit{\Delta} E=\frac{f}{2}(p_2V_2-p_1V_1)\]
ahol \(f=5\)
2 pont
\[\mathit{\Delta} E=741\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}\cdot 0,028\ kg\cdot (301\ K-350\ K)}\]
\[\mathit{\Delta} E=-1017\ \mathrm{J}\]
1 pont
(Ha a vizsgázó előjelhibát vét a belső energia változásának megállapításánál, a c) rész pontszámából 1 pont levonandó.)
d) Határozza meg a gáz által az (A$\to$B) folyamatban végzett munka közelítő értékét, azzal a feltételezéssel, hogy a nyomás‑térfogat grafikonon a gáz állapotváltozása egyenes szakasszal közelíthető!
$W_{\mathrm{gáz}}=1052\ \mathrm{J}$
d) A kitáguló gáz munkájának közelítő meghatározása:
\[W_{\mathrm{gáz}}=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot (V_2-V_1)\]
2 pont
\[W_{\mathrm{gáz}}=\frac{132,2\cdot 10^3\ \mathrm{Pa}+78,2\cdot 10^3\ \mathrm{Pa}}{2}\cdot (32\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}-22\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3})\]
\[W_{\mathrm{gáz}}=1052\ \mathrm{J}\]
1 pont
(Ha a vizsgázó előjelhibát vét a gáz munkájának megállapításánál, a d) rész pontszámából 1 pont levonandó.)
e) Hasonlítsa össze a számolt munkát és a belsőenergia‑változást, és ezt felhasználva következtessen az állapotváltozás jellegére!
$\mathit{\Delta} E=W_{\mathrm{gázon}}$
e) A számolt munka és az energiaváltozás arányának összehasonlítása:
\[\frac{W_{\mathrm{gáz}}}{\mathit{\Delta} E}=\frac{1052\ \mathrm{J}}{-1017\ \mathrm{J}}=-1,03\]
vagy
\[\mathit{\Delta} E=-W_{\mathrm{gáz}}\]
1 pont
\[\mathit{\Delta} E=W_{\mathrm{gázon}}\]
1 pont
Következtetés a folyamat termodinamikai jellegére:
Mivel \(\mathit{\Delta} E=W_{\mathrm{gázon}}\), ezért a termodinamika első főtétele alapján a folyamatban \(Q=0\), tehát jó közelítéssel adiabatikus állapotváltozásról van szó.
2 pont
(bontható)
Ha a jelölt számolás nélkül, pusztán a grafikon alapján jelenti ki, hogy a folyamat adiabatikus, az e) részre 1 pont adható.
Összesen: 14 pont