Tarzan egy $10\ \mathrm{m}$ magasan lévő faágon ül. Észreveszi, hogy kedvesét egy oroszlán fenyegeti. Megfeszít egy $10\ \mathrm{m\small é\normalsize ter}$ hosszú liánt az ábrának megfelelően, amely épp a kedvese felett rögzül. Tarzan a liánt fogva, kezdősebesség nélkül elindul a fáról. Körívének legalsó pontján magához öleli kedvesét, majd együtt fellendülnek egy közelben álló fa ágára. Tarzan $80\ \mathrm{kg}$, kedvese $60\ \mathrm{kg}$ tömegű.
(A szereplőket tekintsük pontszerűeknek. A lián tömege és a megnyúlása elhanyagolható.)
a) Mekkora Tarzan sebessége a kedvese elkapása előtti pillanatban?
$v=14,1\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
a) A mechanikai energiamegmaradás alkalmazhatóságának felismerése és konkrét megfogalmazása:
2 pont
\[m_1gh_1=\frac{1}{2}m_1v^2\]
Rendezés, számítás:
2 pont
(bontható)
\[v=\sqrt{2gh_1}\]
\[v=14,1\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
(A paraméteres alak nem követelmény.)
b) Mekkora a sebessége közvetlenül az elkapás utáni pillanatban?
$v_{\mathrm{k}}=8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
b) Annak felismerése, hogy az elkapás mozzanata rugalmatlan ütközésnek tekinthető:
1 pont
(E pontszám akkor is jár, ha a későbbiek a jelölt a kölcsönhatást rugalmatlan ütközésként kezelte.)
A lendületmegmaradási tétel megfogalmazása:
2 pont
\[m_1v=(m_1+m_2)v_{\mathrm{k}}\]
Rendezés, számítás:
2 pont
(bontható)
\[v_{\mathrm{k}}=\frac{m_1v}{m_1+m_2}\]
\[v_{\mathrm{k}}=8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\(8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) a közös sebességük.
(A paraméteres alak nem követelmény.)
c) Legfeljebb milyen magas faágra jutnak fel együtt?
Legfeljebb $3,2\ \mathrm{m}$ magasra
c) A mechanikai energiamegmaradás tételének újbóli alkalmazása:
2 pont
\[\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{\mathrm{k}}^2=(m_1+m_2)gh_2\]
Rendezés, számítás:
2 pont
(bontható)
\[\frac{1}{2}v_{\mathrm{k}}^2=gh_2\]
\[h=\frac{v_{\mathrm{k}}^2}{2g}=3,2\ \mathrm{m}\]
tehát legfeljebb $3,2\ \mathrm{m}$ magasra jutnak fel.
Összesen: 13 pont