Egy vidámparkban a hullámvasút kocsija álló helyzetből indulva legurul egy lejtőn, majd pedig egy függőleges síkban lévő kör alakú pályán száguld végig.
$\bigg($A lejtő magassága \(h=30\ \mathrm{m}\), a kör sugara \(R=10\ \mathrm{m}\). A súrlódás elhanyagolható, $g=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}.\bigg)$
a) Mekkora a kocsi sebessége a körpálya alsó $\mathrm{A}$, illetve felső $\mathrm{B}$ pontján?
$v_{\mathrm{A}}=24,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
$v_{\mathrm{B}}=14,1\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
Adatok:
\(h=30\ \mathrm{m}\)
\(R=10\ \mathrm{m}\)
\(m_{\mathrm{utas}}=80\ \mathrm{kg}\)
\(g=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\)
a) Az energiamegmaradás tételének alkalmazása a kocsi mozgására a körpálya alsó pontján és a sebesség kiszámítása:
1 + 1 pont
A kocsi mozgási energiája egyenlő a helyzeti energia megváltozásával:
\[\frac{1}{2}\cdot m_{\mathrm{kocsi}}\cdot v_{\mathrm{A}}^2=m_{\mathrm{kocsi}}\cdot g \cdot h\]
ebből
\[v_{\mathrm{A}}=24,5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az energiamegmaradás tételének alkalmazása a kocsi mozgására a körpálya felső pontján és a sebesség kiszámítása:
1 + 1 pont
\[\frac{1}{2}\cdot m_{\mathrm{kocsi}}\cdot v_{\mathrm{B}}^2=m_{\mathrm{kocsi}}\cdot g\cdot \left(h-2R\right)\]
amiből
\[v_{\mathrm{B}}=14,1\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
b) Mekkora erővel nyom egy \(m=80\ \mathrm{kg}\) tömegű utast a kocsi ülése a körpálya alsó $\mathrm{A}$, illetve felső $\mathrm{B}$ pontján?
$F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{A}}=4800\ \mathrm{N}$
$F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{B}}=800\ \mathrm{N}$
b) Az utasra ható erők egyensúlyának felírása a körpálya alsó, illetve felső pontján:
1 + 1 pont
Az utasra ható gravitációs erő, illetve nyomóerő eredője a körpályán történő mozgáshoz szükséges centripetális erő.
Alul:
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{A}}-m_{\mathrm{utas}}\cdot g\]
Felül:
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{B}}=F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{B}}+m_{\mathrm{utas}}\cdot g\]
(Megfelelő ábra is elfogadható.)
A centripetális erő kiszámítása} a kocsi sebességéből a körpálya alsó, illetve felső pontján:
1 + 1 pont
Alul:
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{A}}=m_{\mathrm{utas}}\cdot \frac{\ v_{\mathrm{A}}^2\ }{\! R}\]
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{A}}=4800\ \mathrm{N}\]
Felül:
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{B}}=m_{\mathrm{utas}}\cdot \frac{v_{\mathrm{B}}^2}{R}\]
\[F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{B}}=1600\ \mathrm{N}\]
A nyomóerő kiszámítása a körpálya alsó, illetve felső pontján:
1 + 1 pont
Alul:
\[F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{utas}}\cdot g\]
\[F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{A}}=5600\ \mathrm{N}\]
Felül:
\[F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{B}}=F_{\mathrm{cp}}^{\mathrm{B}}-m_{\mathrm{utas}}\cdot g\]
\[F_{\mathrm{nyomó}}^{\mathrm{B}}=800\ \mathrm{N}\]
Összesen: 10 pont