Egy függőleges üvegcsőben ideálisnak tekinthető gáz van, amelyet egy súrlódásmentesen mozgó dugattyú zár be. A gázoszlop magassága a csőben kezdetben \(h_1=20\ \mathrm{cm}\). A gázt \(T_2=50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ra felmelegítjük, a dugattyú eközben valamelyest feljebb emelkedik a csőben. Ezután egy súlyt helyezünk óvatosan a dugattyúra, és azt tapasztaljuk, hogy miközben a gáz hőmérséklete \(T_3=T_2=50\ \mathrm{{}^\circ C}\) marad, a dugattyú pont visszakerül eredeti helyzetébe \(h_3=h_1\). Ezután \(T_4=80\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ra kell emelni a gáz hőmérsékletét, hogy a dugattyú ismét elérje az iménti magasságot $(h_4=h_2)$.
a) Mennyivel emelkedett meg a dugattyú, amikor \(T_2=50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ra melegítettük a gázt?
A dugattyú \(1,9\ \mathrm{cm}\)‑t emelkedett.
(Minden pontszám bontható!)
Adatok:
\(T_3=T_2=50\ \mathrm{{}^\circ C}\)
\(h_3=h_1=20\ \mathrm{cm}\)
\(T_4=80\ \mathrm{{}^\circ C}\)
a) A Gay–Lussac-törvény felírása a 3. és a 4. állapot közti izobár folyamatra:
2 pont
Ebből a dugattyú emelkedésének kiszámítása:
3 pont
Az \(50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ról \(80\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ra történő melegítés során a gáz állapotváltozása izobár. A térfogatok (az állandó keresztmetszet miatt) arányosak a gázoszlop hosszával.
\[\frac{h_4}{h_3}=\frac{V_4}{V_3}=\frac{T_4}{T_3}\]
\[h_4=\frac{T_4}{T_3}\cdot h_3\]
\[h_4=\frac{353\ \mathrm{K}}{323\ \mathrm{K}}\cdot 20\ \mathrm{cm}\]
\[h_4=21,9\ \mathrm{cm}\]
a dugattyú tehát \(1,9\ \mathrm{cm}\)‑t emelkedett.
b) Mennyi a gáz kezdeti \(T_1\) hőmérséklete?
$T_1=295\ \mathrm{K}=22\ \mathrm{{}^\circ C}$
b) A Gay–Lussac-törvény felírása az 1. és a 2. állapot közti izobár folyamatra:
2 pont
Ebből a kezdeti hőmérséklet kiszámítása:
3 pont
A \(T_1\)-ről \(50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ra történő melegítés során a gáz állapotváltozása szintén izobár.
\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{h_1}{h_2}\]
\[T_1=\frac{h_1}{h_2}\cdot T_2\]
\[T_1=295\ \mathrm{K}\]
a gáz kezdeti hőmérséklete.
Ez Celsius fokban: \(T_1=22\ \mathrm{{}^\circ C}\).
c) Hány százalékkal nagyobb a gáz nyomása a 3-as helyzetben, mint az 1-es helyzetben?
A gáz nyomása $9,5\%$‑kal nőtt meg.
c) Gay–Lussac-törvény felírása az 1. és a 3. állapotra:
2 pont
Ebből a nyomás változásának kiszámítása:
1 pont
\[\frac{p_3}{p_1}=\frac{T_3}{T_1}=\frac{323\ \mathrm{K}}{295\ \mathrm{K}}=1,095\]
A válasz megadása:
1 pont
Tehát a gáz nyomása $9,5\%$‑kal nőtt meg.
Természetesen más gondolatmenetre is teljes pontot lehet adni. A nyomásváltozás pl. kiszámolható a 2. és a 3. állapot közti izoterm állapotváltozásból is:
\[p_3\cdot V_3\ =\ p_2\cdot V_2\]
\[\frac{p_3}{p_2}=\frac{p_3}{p_1}=\frac{h_2}{h_3}\]
Összesen: 14 pont