a)  Mekkora az elektromos mező $W_{\mathrm{AB}}$ munkavégzése, midőn egy proton az $\mathrm{A}$ pontból a $\mathrm{B}$ pontba kerül?

$W_{\mathrm{AB}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$

A munkavégzés egyenlő az erő $F$ nagysága szorozva az elmozdulás erővel párhuzamos összetevőjének előjeles nagyságával ($s_{\parallel }$), ügyelve az előjelszabályra, miszerint ha ezek egyirányúak, akkor a munka pozitív, ha pedig ellentétes irányúak, akkor a munka negatív.

$$W_{\mathrm{AB}}=F\cdot s_{\parallel }$$

Elektromos mezőben a töltésekre ható erő nagysága egyenesen arányos az $E$ térerősséggel és a $Q$ töltéssel:

$$F=E\cdot Q$$

Ez alapján a munkavégzés:

$$W_{\mathrm{AB}}=E\cdot Q\cdot s_{\parallel }$$

Az $s_{\parallel }$ előjeles nagyságához meg kell gondolnunk az ő nagyságát is és az előjelét is.

A nagyságának eldöntéséhez vegyük észre, hogy az $\vec{s}=\vec{AB}$ elmozdulásvektorunk pont egyirányú az $\vec{F}$ erővel, ezért az ${\vec{s}}_{\parallel }$ nagysága ugyanakkora, mint az $\vec{AB}$ nagysága, vagyis 2 méter.

Az előjelének eldöntéséhez először meg kell gondolnunk, hogy az erő milyen irányú, ugyanis hozzá kell viszonyítanunk. Elektromos mezőben a pozitív töltésekre a térerősségvektor irányába mutató erő hat, míg negatív töltésekre a térerősségvektorral ellentétes irányú erő hat. A térerősségvektor jobbra mutat, ezért a pozitív töltésű protonra jobbra mutató erő fog hatni. Mivel az ${\vec{s}}_{\parallel }$ is jobbra mutat, ezért egyirányú az $\vec{F}$ erővel, így az előjelszabály alapján pozitív értékkel kell szerepelteni a munkavégzés kifejezésében:

Írjuk be az adatainkat:

$$W_{\mathrm{AB}}=5\ {{\mathrm{N}}\over {\mathrm{C}}}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\ \mathrm{C}\cdot 2\ \mathrm{m}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{Nm}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$$

b)  Mekkora az elektromos mező $W_{\mathrm{AB}}$ munkavégzése, midőn egy elektron az $\mathrm{A}$ pontból a $\mathrm{B}$ pontba kerül?

$W_{\mathrm{AB}}=-1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$

Az előzőhöz képest annyi az eltérés, hogy az elektronra a negatív törlése miatt a térerősséggel ellentétes irányú erő hat, vagyis esetünkben az erő balra mutat.

Az  $\vec{s}=\vec{\mathrm{AB}}$ elmozdulásvektorunk emiatt az $\vec{F}$ erővel ellentétes irányú, így most is teljes egészében párhuzamos, ami miatt az $s_{\parallel }$ most is 2 méter. Viszont az ellentétes irány miatt negatív előjelet kap a munkavégzés kifejezésében, az előjelszabály alapján:

$$W_{\mathrm{AB}}=5\ {\mathrm{{N}\over {C}}}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\ \mathrm{C}\cdot \left(-2\right)\ \mathrm{m}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=-1,6\ \cdot {10}^{-18}\ \mathrm{Nm}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=-1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$$

Megjegyzés: az egyenletben a töltés azért nem negatív előjelű, mert a munka definíciójában az erő $F$ nagysága van megszorozva az $s_{\parallel }$ előjeles nagyságával. Az elektron negatív töltését olyan módon vesszük figyelembe, hogy meggondoljuk a rá ható erő irányát, és ehhez az erőhöz viszonyítjuk az $s_{\parallel }$ irányát. Ha $s_{\parallel }$ egyirányú az erővel, akkor pozitív előjelet kap, ha pedig ellentétes irányú, akkor negatív előjelet kap.

c)  Mekkora az elektromos mező $W_{\mathrm{BA}}$ munkavégzése, midőn egy proton a $\mathrm{B}$ pontból az $\mathrm{A}$ pontba kerül?

$W_{\mathrm{BA}}=-1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$

Az A) kérdéshez viszonyítva az hasonlóság, hogy a protonra most is jobbra mutató erő hat. De az elmozdulás ezúttal nem jobbra, hanem balra van. Emiatt az ${\vec{s}}_{\parallel }$ ellentétes irányú az $\vec{F}$ erővel, így az $s_{\parallel }$ negatív előjellel kell szerepeljen a munkavégzés kifejezésében, az előjelszabály alapján.

$$W_{\mathrm{AB}}=5\ \mathrm{{{N}\over {C}}}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\ \mathrm{C}\cdot \left(-2\right)\ \mathrm{m}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=-1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{Nm}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=-1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$$

d)  Mekkora az elektromos mező $W_{\mathrm{BA}}$ munkavégzése, midőn egy elektron a $\mathrm{B}$ pontból az $\mathrm{A}$ pontba kerül?

$W_{\mathrm{BA}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$

Az előző elektronos B) kérdéshez viszonyítva most is a térerősséggel ellentétes irányba, azaz balra mutató erő fog hatni az elektronra. Viszont most az elmozdulásunk is balra van, emiatt az ${\vec{s}}_{\parallel }$ egyirányú az $\vec{F}$ erővel, így az $s_{\parallel }$ pozitív előjellel kell szerepeljen  munka kifejezésében az előjelszabály alapján.

$$W_{\mathrm{AB}}=5\ \mathrm{{{N}\over {C}}}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\ \mathrm{C}\cdot 2\ \mathrm{m}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{Nm}$$

$$W_{\mathrm{AB}}=1,6\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}$$