| Norbika úgy szeretne lengedezni fel-le, ahogy Pom Pom tette a faágon. Egy faág helyett, ami esetleg letörik - gondol egyet Norbika - egy függőleges spirálrugóval is megvalósíthatná az álmát. De pontosan milyen paraméterű rugót kellene ehhez szereznie, hogy ő is a rajzfilmben látható - nyugtató hatású - három másodperces periódusidővel lengjen? Arra gyanakszik, hogy a kialakuló periódusidő a rugón túl a saját tömegétől is függ, ezért megméri, és 60 kg-nak találja. |
A) Mekkora $D$ rugóállandójú rugóval valósíthatja meg az álmát?
$263,2\ {{N}\over {m}}$
A rugón rezgő test periódusideje:
$$T=2\pi \cdot \sqrt{{{m}\over {D}}}$$
Írjuk be az adatainkat!
Norbika tömege:
$$m=60\ kg$$
A kívánt rezgés periódusideje:
$$T=3\ s$$
$$3\ s=2\pi \cdot \sqrt{{{60\ kg}\over {D}}}$$
$${{3\ s}\over {2\pi }}=\sqrt{{{60\ kg}\over {D}}}$$
$${{9\ s^2}\over {4{\pi }^2}}={{60\ kg}\over {D}}$$
$$D={{60\ kg\cdot 4{\pi }^2}\over {9\ s^2}}$$
$$D={{240\cdot {\pi }^2\ kg}\over {9\ s^2}}$$
$$D=263,2\ {{kg}\over {s^2}}$$
Az eredményt nem nagyon tudjuk becsléssel ellenőrizni, de az feltűnhet, hogy a mértékegység furcsa. A $D$ rugóállandó mértékegysége ${{N}\over {m}}$ vagy ${{N}\over {cm}}$ szokott lenni, de most itt nem ezt látjuk. Azonban visszagondolunk az erő SI egységének a definíciójára:
,,1 newton az az erő, amely egy 1 kg tömegű testre hatva${}^{ azt}$ 1 m/s${}^{2}$ gyorsulásra kényszeríti.''
Ezt a gondolatot egyenletbe foglalva:
$$1\ N=1\ {{kg\cdot m}\over {s^2}}$$
Írjuk ezt be a rugóállandó szokásos mértékegységébe:
$${{N}\over {m}}={{{{kg\cdot m}\over {s^2}}}\over {m}}={{kg}\over {s^2}}$$
Vagyis az általunk a rugóállandóra eredetileg kapott ${{kg}\over {s^2}}$ mértékegység azonos a megszokott ${{N}\over {m}}$ mértékegységgel.
Megjegyzés: Önmagában a megfelelő rugóállandó még nem elég ahhoz, hogy Pom Pom módjára lengedezhessünk. Ugyanis Pom Pom rezgésének amplitúdója a rajzfilmben nagyságrendileg 20-30 cm, de a rugók nem viselkednek rugalmasan bármekkora mértékű megnyúlás esetén. A rugalmassági határuknál jobban megnyújtva maradandó deformációt szenvednek: ezután már hiába engedjük el a végüket, már soha nem térnek vissza eredeti nyújtatlan hosszukra. Ezért a megfelelő rugónak bírnia kell a kívánt megnyúlást - még maradandó deformáció nélkül.
B) A garázsban talál egy hosszú spirálrugót, melyet - jobb ötlet híján végül - egy magasban lévő, vízszintes faágra erősít fel, de erre rácsimpaszkodva a rezgése már túl lassú, kerek 5 másodperces periódusidejű. Mit tehetne, hogy 3 másodperces periódusidő jöjjön létre?