a)  Mikor éri utol az autó a biciklit?

5 másodperc múlva

Legyen az időmérés kezdete akkor, amikor a bicikli eleje elhalad az autó eleje mellett!

A bicikli mozgása állandó sebességű, így a bicikli megtett útja az időmérés kezdetétől számítva $t$ időpillanatig:

$$s_{\mathrm{B}}=v_{\mathrm{B}}\cdot t$$

Az autó mozgása kezdősebesség nélküli egyenletesen változó mozgás (gyorsulása $a_A$ ) ezért az autó megtett útja az időmérés kezdetétől számítva $t$ időpillanatig:

$$s_{\mathrm{A}}={{1}\over {2}}a_{\mathrm{A}}{\cdot t}^2$$

Az autó akkor éri utol a biciklit, amikorra azonos utat tesznek meg, hiszen az időmérés kezdetekor ugyanott voltak:

$$s_{\mathrm{B}}=s_{\mathrm{A}}$$

$$v_{\mathrm{B}}\cdot t={{1}\over {2}}a_{\mathrm{A}}{\cdot t}^2$$

Írjuk be az adatainkat:

$$v_{\mathrm{B}}=10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

$$a_{\mathrm{A}}=4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t={{1}\over {2}}\cdot 4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}{\cdot t}^2$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{1}\over {2}}\cdot 4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot t$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}=2\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot t$$

$$5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}=\mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot t$$

$$t=5\ \mathrm{s}$$

Közös sebesség-idő diagramon ábrázolva szépen látszik, hogy amire az autó eléri a biciklis állandó sebességét (a zöld és piros függvények metszéspontja középen), addig a biciklis, a nagyobb sebessége miatt felhalmoz némi előnyt (kék háromszög területe), amit az autónak a második szakaszban pont le kell dolgoznia azáltal, hogy ott már neki nagyobb a sebessége, így ott már neki nagyobb a megtett útja:

Így a két megtett út azonos lesz:

b)  Mekkora a legnagyobb távolság köztük amíg a biciklis van előrébb? Mikor következik be ez? Hol járnak a kezdeti helyhez képest a szereplők?

\(12,5\ \mathrm{m}\)

Az időmérés kezdete után picivel az autó még szinte áll (a sebessége még csak igen kicsi érték), a biciklis viszont mindvégig jelentős nagyságú, \(\displaystyle 10 \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebeséggel halad, vagyis eleinte a nagyobb sebessége miatt folyamatosan növeli az előnyét. Meddig tart az a szakasz, amíg a biciklis növeli az előnyét? Addig, amíg nagyobb a sebessége, mint az autónak. Onnantól kezdve, amikortól az autó már nagyobb sebességű, mint a biciklis, onnantól a biciklis előnye már egyre csökkenni fog. Aztán egyszer utol is éri az autó. Sőt, az utoléréssel nem áll meg az a folyamat, hogy "a biciklis előnye csökken", hiszen az autó ezután is nagyobb sebességgel halad, mint a biciklis: a biciklis előnye egyre nagyobb értékű negatív szám lesz, vagyis egyre nagyobb hátrányba kerül, egyre jobban lemarad az autó mögött.

Tehát azt az időpillanatot kell először meghatároznunk, hogy meddig tart, amíg a bicikli még növeli az előnyét, vagyis meddig áll fenn az állapot, hogy nagyobb a sebesége. Ennek az intervallumnak a szélső pontja az a pillanat, amikor a két szereplő sebessége azonos:

$$v_{\mathrm{B}}=v_{\mathrm{A}}$$

A bicikli sebességfüggése egyszerű, hiszen az mindvégig állandó:

$$v_{\mathrm{B}}=10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

Az autó sebessége már függ az időtől, méghozzá a gyorsulással és az eltelt idővel is egyenesen arányosan:

$$v_{\mathrm{A}}=a\cdot t=4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot t$$

Írjuk ezeket be az első egyenletbe:

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}=4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot t$$

$$t=2,5\ \mathrm{s}$$

A feladat azonban nem csak azt kérdezte, hogy mikor lesznek a legtávolabb egymástól, hanem hogy mekkora ez a legnagyobb távolság. Ehhez meg kell határoznunk, hogy külön-külön mekkora utakat tettek meg, és a megtett útjaik különbsége adja a köztük lévő távolságot.

A biciklis által megtett út:

$$s_{\mathrm{B}}=v_{\mathrm{B}}\cdot t$$

$$s_{\mathrm{B}}=10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 2,5\ \mathrm{s}$$

$$s_{\mathrm{B}}=25\ \mathrm{m}$$

Az autó által megtett út:

$$s_{\mathrm{A}}={{1}\over {2}}a_{\mathrm{A}}{\cdot t}^2$$

$$s_{\mathrm{A}}={{1}\over {2}}\cdot 4\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}{\cdot \left(2,5\ \mathrm{s}\right)}^2$$

$$s_{\mathrm{A}}=2\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}\cdot 6,25\ \mathrm{s^2}$$

$$s_{\mathrm{A}}=12,5\ \mathrm{m}$$

A köztük lévő távolság precízen a megtett útjaik különbségének abszolút értéke. De ha ,,ügyesen'' a nagyobb útból vonjuk ki a kisebbet, akkor az eredmény pozitív szám lesz, amivel az abszolútérték függvény nem csinál semmit. A biciklis megtett útja a nagyobb, ezért:

$$d=s_{\mathrm{B}}-s_{\mathrm{A}}$$

$$d_{\mathrm{max}}=25\ \mathrm{m}-12,5\ \mathrm{m}$$

$$d_{\mathrm{max}}=12,5\ \mathrm{m}$$