a)  Milyen magasan lesz a kavics a pályája tetőpontján, a kilövési helyéhez képest? (A légellenállás hatását mindvégig hanyagoljuk el!)

$7,8125$ méter magasan

A pálya legmagasabb pontját az határozza meg, hogy mekkora a kavics $v_{y0}$ függőleges kezdősebessége, és hogy mennyire erősen húzza lefelé a nehézségi erő (gyengébb nehézségi erő esetén, például egy másik bolygón ugyanez a kavics ugyanígy eldobva magasabbra jutna fel).

A $v_{y0}$ függőleges kezdősebesség a $v_0$ kezdősebesség komponensekre bontásából adódik. A vízszintessel bezárt $30$ fokos szög miatt a függőleges komponens pont fele akkora, mint az egész sebesség. Így:

$$v_{y0}={{1}\over {2}}v_0$$

$$v_{y0}={{1}\over {2}}\cdot 90\ \mathrm{{{km}\over {h}}}$$

$$v_{y0}={{1}\over {2}}\cdot {{90}\over {3,6}}\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

$$v_{y0}=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

Mekkora ${\Delta t}_{\mathrm{T}}$ ideig tart, míg a nehézségi erő ezt a függőleges kezdősebességet nullára csökkenti? Jelöljük $\mathrm{T}$ alsó index‑szel a tetőpontot!

$$a_y={{\Delta v_y}\over {\Delta t}}$$

$$a_y={{v_{yT}-v_{y0}}\over {{\Delta t}_{\mathrm{T}}}}$$

Válasszunk pozitív irányt, mondjuk felfelé. Írjuk be, hogy a tetőpontban a függőleges sebesség nulla, valamint az imént kiszámolt kezdősebességet:

$$a_y={{0\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}-12,5\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}}\over {{\Delta t}_{\mathrm{T}}}}$$

$$a_y={{-12,5\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}}\over {{\Delta t}_{\mathrm{T}}}}$$

Írjuk be, hogy a kavics függőleges gyorsulása a nehézségi gyorsulás, de ügyeljünk arra, hogy a függőleges pozitív irányt most felfelé választottuk, így a nehézségi gyorsulásunk (ami lefelé irányú) előjele negatív!

$$-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}={{-12,5\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}}\over {{\Delta t}_{\mathrm{T}}}}$$

$${\Delta t}_{\mathrm{T}}=1,25\ \mathrm{s}$$

Mennyit halad ennyi idő alatt függőlegesen a kavics felfelé? Ehhez kihasználjuk, hogy a függőleges sebességkomponense egyenletesen változó. Emiatt ugyanis az átlagsebesség könnyen számítható a kezdősebesség és a végsebesség átlagaként, azaz számtani közepeként:

$$v_{y\ \mathrm{átl}}={{v_0+v_1}\over {2}}$$

$$v_{y\ \mathrm{átl}}={{v_{y0}+v_{y\mathrm{T}}}\over {2}}$$

A $v_{yT}$ tetőpontbeli függőleges sebesség nulla, hiszen a tetőpontban következik be az az állapot, hogy a nehézségi erő ekkorra pont nullára csökkentette a függőleges kezdősebességet. (Amíg még van felfelé irányuló sebessége a kavicsnak, akkor még feljebb halad.) Írjuk be a függőleges kezdősebességet:

$$v_{y\ \mathrm{átl}}={{12,5\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}+0\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}}\over {2}}$$

$$v_{y\ \mathrm{átl}}=6,25\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

Ekkora átlagos függőleges sebességgel menyit halad felfelé?

$$s_y=v_{y\ \mathrm{átl}}\cdot {\Delta t}_{\mathrm{T}}$$

$$s_y=6,25\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 1,25\ s$$

$$s_y=7,8125\ \mathrm{m}$$

b)  A kilövés után mennyi idővel csapódik a kavics egy távoli ember fejének (jó esetben a rohamsisakja plexijének), ha az ugyanolyan magas, mint a csúzlival lövő tüntető?

2,5 másodperccel a kilövés után

Mennyi ideig tart összesen, míg a kavics felmegy és visszaér a kezdeti magasságba? Ezt a függőleges helykoordináta időfüggéséből számíthatjuk ki. A kavics függőleges mozgása egy kezdősebességes egyenletesen változó mozgás, így

$$y\ \left(t\right)=v_{y0}\cdot t+{{1}\over {2}}a_y\cdot t^2$$

Írjuk be az adatainkat, ügyelve arra, hogy felfelé vettük a pozitív irányt, így a $v_{y0}$ függőleges kezdősebességünk pozitív előjelű, míg a $g$ nehézségi gyorsulás negatív előjelű:

$$y\ \left(t\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t+{{1}\over {2}}\cdot \left(-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\right)\cdot t^2$$

$$y\ \left(t\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t-5\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\cdot t^2$$

Most használjuk ki, hogy a visszaérkezéskor a függőleges helykoordinátánk azonos a kezdetivel, méghozzá emiatt nulla, hiszen a vonatkoztatási rendszerünk origóját a kilőtt kavics kezdőpontba helyeztük. Jelölje $\mathrm{V}$ alsó index a ,,visszaérkezést''.

$$0\ \mathrm{m}=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t_{\mathrm{V}}-5\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\cdot {t_{\mathrm{V}}}^2$$

$$5\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\cdot {t_{\mathrm{V}}}^2=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t_{\mathrm{V}}$$

$$t_{\mathrm{V}}=2,5\ \mathrm{s}$$

(Mondhattuk volna egyszerűen azt is, hogy a kavics lefelé útja a tetőponttól a kezdeti magasságig ugyanannyi ideig tart, mint a kezdettől felfelé a tetőpontig, de ezt alaposan meg kellett volna indokolni, aminél egyszerűbb a fenti levezetés.)

c)  Milyen távoli embert fog fejbe találni a csúzlis tüntető, ha az eltalált ember (rendőr) ugyanolyan magas, mint ő?

$54,12$ méterre lévőt

A kavics függőleges kezdősebessége és a negézségi gyorsulás azt határozza meg, hogy a repülése során milyen magasra fog feljutni, és hogy mennyi ideig tart, míg visszaér a kiindulási magasságba. A vízszintes kezdősebesség pedig azt határozza meg, hogy ezalatt az idő alatt mennyit fog vízszintesen haladni. Mekkora ez az állandó $v_x$ vízszintes sebesség? A $30$ fokos szög miatt a $v_x$ olyan viszonyban (arányban) van a $v_0$ kezdősebességgel, mint a szabályos háromszög magasságvonalai az oldalakkal, vagyis

$$v_x={{\sqrt{3}}\over {2}}v_0$$

$$v_x={{\sqrt{3}}\over {2}}\cdot 25\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\approx 21,65\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

A kavics vízszintes helykoordinátájának időfüggése egyszerű, mivel a vízszintes sebesség állandó:

$$x\ \left(t\right)=v_x\cdot t$$

Az előző kérdésben már megkaptuk, hogy $2,5$ másodpercig tart, míg visszaér a kezdeti magasságba, így az adatainkat beírhatjuk:

$$x\ \left(t\right)=21,65\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 2,5\ \mathrm{s}$$

$$x\ \left(t\right)=54,12\ \mathrm{m}$$ 

d)  Hol jár a kavics az eldobás után 0,5 másodperccel?

$5$ méterrel magasabban és $10,825$ méterrel előrébb, mint ahonnan indult.

A kavics helyének meghatározásához az $x$ vízszintes helykoordinátáját és az $y$ függőleges helykoordinátáját kell megadnunk. Kezdjük a vízszintessel! Ennek időfüggése egyszerű, hiszen a vízszintes sebesség álllandó:

$$x\ \left(t\right)=v_x\cdot t$$

A vízszintes sebességünket korábban más kiszámoltuk, most írjuk be az időadatunkkal együtt:

$$x\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=21,65\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 0,5\ \mathrm{s}$$

$$x\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=10,825\ \mathrm{m}$$

Az $y$ függőleges helykoordináta időfüggése már összetettebb, mert függőlegesen kezdősebességes egyenletesen változó a mozgás:

$$y\ \left(t\right)=v_{y0}\cdot t+{{1}\over {2}}a_y\cdot t^2$$

Írjuk be az adatainkat, ügyelve arra, hogy felfelé vettük a pozitív irányt, így a $v_{y0}$ függőleges kezdősebességünk pozitív előjelű, míg a $g$ nehézségi gyorsulás negatív előjelű:

$$y\ \left(t\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot t+{{1}\over {2}}\cdot \left(-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\right)\cdot t^2$$

Írjuk be, hogy most a $t=0,5\ \mathrm{s}$ időpillanatban keressük a helykoordinátát:

$$y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 0,5\ \mathrm{s}+{{1}\over {2}}\cdot \left(-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\right)\cdot {\left(0,5\ \mathrm{s}\right)}^2$$

$$y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=6,25\ \mathrm{m}-1,25\ \mathrm{m}$$

$$y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=5\ \mathrm{m}$$

Tehát a kavics $0,5$ másodperccel a kilövés után $5$ méterrel magasabban és $10,825$ méterrel előrébb jár, mint ahonnan indult.

e)  Mekkora a kavics sebessége az eldobás után $0,5$ másodperccel?

$\approx 22,91\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$

A sebessége kiszámításához ki kell számolnunk a vízszintes és a függőleges sebességkomponenseit. Kezdjük a vízszintessel! Ezen nincs is mit számolni, hiszen a vízszintes sebességkomponense az időben állandó:

$$v_x={{\sqrt{3}}\over {2}}\cdot 25\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\approx 21,65\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

A függőleges sebességkomponens már változik az időben, de nem olyan bonyolultan. A kezdősebességen egyelnletesen változtat a nehézségi gyorsulás:

$$v_y\ \left(t\right)=v_{y0}+a\cdot t$$

Írjuk be az adatainkat, ügyelve az előjelekre:

$$v_y\ \left(t\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\cdot t$$

Írjuk be, hogy most a $t=0,5\ \mathrm{s}$ időpillanatban keressük a sebességkomponenst:

$$v_y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-10\ \mathrm{{{m}\over {\ s^2}}}\cdot 0,5\ \mathrm{s}$$

$$v_y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=12,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

$$v_y\ \left(t=0,5\ \mathrm{s}\right)=7,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

Az így megkapott $v_x$ és $v_y$ sebességkomponensekből pedig (mivel azok merőlegesek egymásra) a Pithagorasz‑tétellel számíthatjuk ki a $v$ sebességvektor nagyságát:

$$v^2={v_x}^2+{v_y}^2$$

$$v^2={\left(21,65\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\right)}^{\! 2}+{\left(7,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\right)}^{\! 2}$$

$$v^2=524,9725\ \mathrm{{{\ m^2}\over {\ s^2}}}\ $$

$$v\approx 22,91\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

f)  Milyen irányú a kavics sebességvektora (mekkora szöget zár be a vízszintessel) a kilövés után $0,5$ másodperccel?

$19,1^\circ$

Az előző kérdésben kiszámoltuk a $v_x$ és $v_y$ sebességkomponenseket. A vízszintessel bezárt $\alpha $ szög tangense egyenlő a függőleges és a vízszintes sebességösszetevők hányadosával:

$$\mathrm{tg}\thinspace \alpha ={{v_y}\over {v_x}}$$

$$\mathrm{tg}\thinspace \alpha = \frac{7,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{21,65\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}$$

$$\mathrm{tg}\thinspace \alpha =0,34642$$

$$\alpha =19,1{}^\circ $$

g)  Mekkora utat tesz meg a kavics a kilövéstől a kezdeti magasságba visszaérkezésig?

Ennek kiszámítása már túlmutat a középiskolai tananyag szintjén.

A pálya még ideális, légellenállásmentes esetben is bonyolult (parabola) alakú, így annak egy szakaszának ívhosszát már csak integrálszámítással határozhatjuk meg.