a) Mekkora $m$ tömegű nehezéket akasszunk a mérleg jobb oldalára, hogy egyensúly alakuljon ki?
\(m_2=2,25\ \mathrm{kg}\)‑osat
Az egyensúly feltétele, hogy a mérlegre ható erők összes forgatónyomatéka nulla legyen:
\[\mathit{\Sigma}M=0\]
Vegyük sorra a mérlegre ható erőket! A mérleg rúdját vehetjük szimmetrikusnak, ettől a rá ható nehézségi erő támadáspontja középen, a mérleg felfüggesztése fölött van. Ennek a nehézségi erőnek a hatásvonala átmegy a tengelyen, így az erőkarja nulla, amitől a forgatónyomatéka is nulla. Jelölje $m_r$ a rúd tömegét!
A mérleg rúdjára hat még az alátámasztó ék által kifejtett, függőlegesen felfelé ható nyomóerő (tartóerő) is. Ennek hatásvonala is átmegy a rúd forgástengelyén, emiatt ennek erőkarja is nulla, így a forgatónyomatéka is nulla.
A bal illetve jobb oldalra akasztott nehezékekre egyensúly esetén pont akkora (felfelé mutató) kötélerő kell hasson, amekkora a rájuk ható nehézségi erő. Ezért a mérleg vízszintes rúdját pont akkora kötélerők húzzák lefelé, amekkorák a rá akasztott nehezékek $m\cdot g$ nehézségi ereje:
Példánkban az összes kötélerő lefelé hat. Ezért a jobb illetve bal oldali kötélerők ellentétes irányba forgatnak (az óramutató járásával megegyezőt szokás pozitív forgásiránynak venni). Ezért a bal oldali nehezékek forgatónyomatékait pozitív előjellel kell beírni a
\[\mathit{\Sigma}M=0\]
egyensúlyi egyenletbe, míg a jobb oldali forgatónyomatékokat negatív előjellel kell beírni:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}-{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}=0\]
Ebből a forgatónyomatékok nagyságára nézve azt kapjuk, hogy az egyes oldalakon azonosak kell, hogy legyenek:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
Megjegyzés: Természetesen ez az összefüggés csak akkor igaz, ha a rúdra ható összes erő egy irányú (vagy mindegyik felfelé, vagy mindegyik lefelé mutat). Jelenleg ez teljesül. Ha az erők nem mind egyirányúak lennének, akkor a legutóbbi - egyszerű - egyenlet már nem áll fenn.)
A kötélerők mindegyike azonos nagyságú a rajta lógó nehezékre ható nehézségi erővel, így a kötélerőket automatikusan a nehezék $m\cdot g$ nehézségi ereje nagyságúnak fogjuk számolni.
A forgatónyomaték egyenlő az erő szorozva annak erőkarával:
\[M=F\cdot k\]
amit ha felhasználunk az imént kapott egyenletre:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
$$F_1 \cdot k_1=F_2 \cdot k_2$$
$$m_1 \cdot g \cdot k_1=m_2 \cdot g \cdot k_2$$
Az ismert adatokat beírva:
\[3\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 6\ \mathrm{cm}=m_2\cdot g\cdot 8\ \mathrm{cm}\]
\[3\ \mathrm{kg}\cdot 6=m_2\cdot 8\]
\[18\ \mathrm{kg}=m_2\cdot 8\]
$$m_2=\frac{18}{8}\ \mathrm{kg}$$
$$m_2=2,25\ \mathrm{kg}$$
b) Mekkora $m$ tömegű nehezéket akasszunk a mérleg jobb oldalára, hogy egyensúly alakuljon ki?
\(m_3=3,875\ \mathrm{kg}\)‑osat
Az előző kérdés alapján most már egyből ebből indulunk ki:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
$$F_1 \cdot k_1+F_2 \cdot k_2=F_3 \cdot k_3$$
$$m_1 \cdot g \cdot k_1+m_2 \cdot g \cdot k_2=m_3 \cdot g \cdot k_3$$
Beírva az adatainkat:
\[3\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 7\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 2\ \mathrm{cm}=m_3\cdot g\cdot 8\ \mathrm{cm}\]
\[31\ \mathrm{kg}=m_3\cdot 8\]
$$m_3=\frac{31}{8}\ \mathrm{kg}$$
$$m_3=3,875\ \mathrm{kg}$$
c) Mekkora $m$ tömegű nehezéket akasszunk a mérleg jobb oldalára, hogy egyensúly alakuljon ki?
\(0,5\ \mathrm{kg}\)‑osat
Az előző kérdések alapján most már egyből ebből indulunk ki:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
$$F_1 \cdot k_1+F_2 \cdot k_2=F_3 \cdot k_3$$
$$m_1 \cdot g \cdot k_1+m_2 \cdot g \cdot k_2=m_3 \cdot g \cdot k_3$$
Beírva az adatainkat:
\[2\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 7\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 2\ \mathrm{cm}+m_3\cdot g\cdot 8\ \mathrm{cm}\]
\[14\ \mathrm{kg}=10\ \mathrm{kg}+m_3\cdot 8\]
\[4\ \mathrm{kg}=m_3\cdot 8\]
$$m_3=\frac{4}{8}\ \mathrm{kg}$$
$$m_3=0,5\ \mathrm{kg}$$
d) A mérleg rúdján jobb oldalon hová akasszuk a \(2\ \mathrm{kg}\) tömegű nehezéket, hogy egyensúly alakuljon ki?
$k_3=4,5\ \mathrm{cm}$ távolságra a tengelytől jobbra
Az előző kérdések alapján most már egyből ebből indulunk ki:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
Mivel minden forgatónyomaték egy erőnek és az erőkarjának szorzata::
$$F_1 \cdot k_1=F_2 \cdot k_2+F_3 \cdot k_3$$
$$m_1 \cdot g \cdot k_1=m_2 \cdot g \cdot k_2+m_3 \cdot g \cdot k_3$$
Az ismert adatokat beírva:
\[3\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 7\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 3\ \mathrm{cm}+2\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot k_3\]
Egyszerűsítve a $kg$-mal és a $g$ nehézségi gyorsulással:
\[3\cdot 7\ \mathrm{cm}=4\cdot 3\ \mathrm{cm}+2\cdot k_3\]
\[21\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}+2\cdot k_3\]
\[9\ \mathrm{cm}=2\cdot k_3\]
$$k_3=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$$
$$k_3=4,5\ \mathrm{cm}$$
e) A mérleg jobb oldalán hová akasszuk a \(2\ \mathrm{kg}\)‑os nehezéket, hogy egyensúly alakuljon ki?
Bárhová is helyezzük a rúd jobb oldalán a feltüntetett $2\ \mathrm{kg}$-os súlyt, sehogy nem lesz egyensúly (nincs megoldás).
Az előző kérdések alapján most már egyből ebből indulunk ki:
\[{\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{bal}}={\mathit{\Sigma}M}_{\mathrm{jobb}}\]
Mivel minden forgatónyomaték egy erőnek és az erőkarjának szorzata::
$$F_1 \cdot k_1=F_2 \cdot k_2+F_3 \cdot k_3$$
$$m_1 \cdot g \cdot k_1=m_2 \cdot g \cdot k_2+m_3 \cdot g \cdot k_3$$
Az ismert adatokat beírva:
\[8\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 9\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot 3\ \mathrm{cm}+2\ \mathrm{kg}\cdot g\cdot k_3\]
\[8\cdot 9\ \mathrm{cm}=3\cdot 3\ \mathrm{cm}+2\cdot k_3\]
\[72\ \mathrm{cm}=9\ \mathrm{cm}+2\cdot k_3\]
\[63\ \mathrm{cm}=2\cdot k_3\]
$$k_3=\frac{63}{2}\ \mathrm{cm}$$
$$k_3=31,5\ \mathrm{cm}$$
Azonban a mérlegünk rúdja csak \(10\ \mathrm{cm}\) hosszú, amire nem lehet 31,5 cm távolságban súlyt akasztani, ezért a feladatnak nincs megoldása.