A képen látható Y-alakú üvegcső két szára közül az egyik kékre színezett vízbe merül, a másik pedig valamilyen más folyadékba (például pirosra színezett denaturált szeszbe). Az Y-alakú cső tetejét egy kis kézi vákuumpumpához csatlakoztatjuk, amivel fokozatosan lehet szívni a levegőt, ezzel lecsökkentjük az Y-alakú üveg felső részén a belső nyomást. Ekkor alul a folyadékok felkúsznak az üvegszárakban.
a) Ha addig pumpálgatunk a kézi vákuumpumpával, hogy a víz $30\ \mathrm{cm}$ magasra emelkedik az egyik szárban, akkor meddig emelkedik a másik szárban a denaturált szesz (>90 %‑os ipari etil‑alkohol), ha annak sűrűsége \(\displaystyle 0,8\ \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) nagyságú?
$37,5\ \mathrm{cm}$
Nyugvó folyadékban lefelé haladva a nyomás egyre nő. Nem meglepő ezek után, hogy nyugvó folyadékban felfelé haladva a nyomás egyre csökken. Hiszen felfelé haladva egyre kevesebb a felettünk lévő folyadék, ami ránk nehezedik a súlyával.Eddig az alábbi, hidrosztatikai nyomás képlettel számoltuk a nyomásnövekedést:
\[p_{hidr}={\varrho }_{foly}\cdot g\cdot h\]
Ennél a $h$ mélységet a folyadék feszínétől számítottuk.
Amikor nem a folyadék felszínétől indulunk lefelé, hanem a folyadékon belül megyünk lejjebb $h$ métert, akkor a hidrosztatikai nyomás megváltozására is alkalmazhatjuk ezt az összefüggést:
Lejjebb menve a nyomás nagyobb.Ugyanezt alkalmazhatjuk felfelé menetelkor is, csak ebben az esetben $h$ magassággal felfelé haladva nem ennyivel nőni, hanem ennyivel csökkenni fog a nyomás.Az Y alakú edény aljánál lévő edényekben a folyadék szintjének magasságában a nyomás értéke megegyezik a külső légnyomással. Méghozzá nemcsak az üvegszár körül, hanem az üvegszár belsejében is. Az alábbi ábrán szereplő 3 piros pont azonos magasságban vannak, és ezeken a helyeken azonos a nyomás, méghozzá a külső légnyomással egyező, azaz $p_0$ nagyságú.
Ha ebből a magasságból felfelé haladunk, akkor mindenképp csökken a nyomás. Akkor is, ha a levegőben haladunk felfelé, és akkor is, ha a csőben a folyadékban. Csak míg a folyadékban haladva a folyadék nagy sűrűsége miatt a ${\varrho }_{foly}\cdot g\cdot h$ nyomásváltozás már kis $h$ esetén is jelentős érték lesz, addig gázban haladva a gázok kicsi sűrűsége miatt a ${\varrho }_{gáz}\cdot g\cdot h$ nyomásváltozás még 1‑2 méteren is elenyészően kicsi. Például vízben függőlegesen haladva 10 méterenként $1\ \mathrm{bar}$‑t változik a nyomás. A normál levegő sűrűsége a vízénél kb. 800‑szor kisebb, így levegőben 10 méterenként mindössze $0,0012\ \mathrm{bar}$‑ral változik a nyomás.
Az Y alakú cső felső részében (a felkúszott folyadékok feletti térben) a külső légnyomásnál kisebb nyomású levegő van, hála a vákuumpumpánknak. Mivel a gázban függőlegesen haladva $20$‑$30\ \mathrm{cm}$‑t csak elhanyagolhatóan kicsi mértékben változik a nyomás, ezért úgy vehetjük, hogy a két szárban a folyadékok feletti levegő nyomása azonos. Az ábrán a kis zöld pontokban azonos a nyomás.
‑
A piros pöttyökkel jelölt helyeken is azonos a nyomás, mindegyiknél $p_0$ külső nyomás értékű. A csövek belsejében lévő két piros pöttytől felfelé haladva a folyadékban a nomás egyre csökken, méghozzá a hidrosztatikai nyomásrévén. Mire eljutunk a kiindulási piros pöttytől a felette lévő zöld pöttyig, közben a nyomáscsökkenés mértéke:
\[p_{hidr}={\varrho }_{foly}\cdot g\cdot h\]
Ez alapján a víz oldalán a csőben a felkúszott víz tetején a nyomás:
\[p_0-{\varrho }_{víz}\cdot g\cdot h_{víz}\]
A denaturált szesz oldalán pedig a csőben a felkúszott szesz tetején a nyomás:
\[p_0-{\varrho }_{alk}\cdot g\cdot h_{alk}\]
Ez a két nyomás meg kell egyezzen, hiszen a felettük lévő gáztérben (csökkent nyomású lebegő) szinte tökéletesen azonos a nyomás:
\[p_0-{\varrho }_{víz}\cdot g\cdot h_{víz}=p_0-{\varrho }_{alk}\cdot g\cdot h_{alk}\]
A $p_0$ külső nyomással, majd a $g$ nehézségi gyorsulással is egyszerűsíthetünk:
\[-{\varrho }_{víz}\cdot g\cdot h_{víz}=-{\varrho }_{alk}\cdot g\cdot h_{alk}\]
\[{\varrho }_{víz}\cdot h_{víz}={\varrho }_{alk}\cdot h_{alk}\]
Azt kaptuk, hogy a folyadék sűrűségének és a folyadékoszlop magasságának szorzata a két szárban megegyezik. Vegyük észre, hogy akárhány szárunk lehetne, akármilyen sokféle folyadékkal, akkor is ugyanezt kapjuk. Ha két menyiség szorzata állandó, azt fordított arányosságnak hívjuk. Tehát a folyadék sűrűsége és a felkúszási magassága fordított arányos egymással. Ez azt jelenti, hogy ahányszor nagyobb az egyik szárban a folyadék sűrűsége (a másik szárban lévő folyadékhoz képest), annyiszor kisebb magasságig megy fel a csőben (a másikhoz képest).
Ekkor máris rávághatjuk, hogy az alkohol sűrűsége ahányszor kisebb, mint a vízé, annyiszor magasabbra fog felmenni. Vagy be is írhatjuk az egyenletünkbe az adatokat:
\[{\varrho }_{víz}\cdot h_{víz}={\varrho }_{alk}\cdot h_{alk}\]
\[1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 30\ \mathrm{cm}=0,8\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}\cdot h_{alk}\]
Át kell váltanunk a $\mathrm{\displaystyle \frac{g}{{cm}^3}}$ egységben megadott sűrűséget $\mathrm{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$ egységbe:
\[\mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}=\frac{\displaystyle \frac{1}{1000}\ \mathrm{kg}}{\displaystyle \frac{1}{1\ 000\ 000}\ \mathrm{m^3}}=\frac{10^{-3}\ \mathrm{kg}}{10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=10^3\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}=1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]
Ez alapján a denaturált szesz sűrűsége:
\[{\varrho }_{alk}=0,8\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}=800\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]
Most már beírhatjuk az egyenletbe:
\[1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 30\ \mathrm{cm}=0,8\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}\cdot h_{alk}\]
\[1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 30\ \mathrm{cm}=800\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot h_{alk}\]
\[1000\cdot 30\ \mathrm{cm}=800\cdot h_{alk}\]
\[h_{alk}=\frac{1000\cdot 30\ \mathrm{cm}}{800}\]
\[h_{alk}=37,5\ \mathrm{cm}\]
b) Mennyi a higany sűrűsége, ha az $2\ \mathrm{cm}$ magasságig megy fel, miközben a másik szárban a víz $27\ \mathrm{cm}$‑re?
\(\displaystyle 13\ 500\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\)
Az előző kérdésben levezettük, hogy a két szárban a sűrűség és a magasság szorzata azonos. Itt most ez így néz ki:
\[{\varrho }_{víz}\cdot h_{víz}={\varrho }_{Hg}\cdot h_{Hg}\]
Írjuk be az adatainkat:
\[1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 27\ \mathrm{cm}={\varrho }_{Hg}\cdot 2\ \mathrm{cm}\]
\[1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 27={\varrho }_{Hg}\cdot 2\]
\[27\ 000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}={\varrho }_{Hg}\cdot 2\]
\[{\varrho }_{Hg}=13\ 500\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]
c) Meg lehetne mérni ezzel az összeállítással a légnyomást?
Csak akkor, ha ismernénk, hogy a vákuumgép mekkora (csökkentett) nyomást hoz létre az Y-alakú üvegcső felső részében.
Ugyanis a levezetésben kiesett az egyenletből a külső légnyomás, de ha ismernénk a vákuumgép által előállított nyomást, akkor elegendő lenne az egyenletet felírni az egyik szárra, és abból kifejezhető lenne a külső légnyomás.