a)  Mennyi a tömege az alumínium hasábnak?

$m_{Al}=81\ \mathrm{g}=0,081\ \mathrm{kg}$

A tömegét a sűrűség definíciójából számíthatjuk:

\[\varrho =\frac{m}{V}\]

amiből a tömeget kirendezve:

\[m=\varrho \cdot V\]

Írjuk be az adatainkat úgy, hogy az alumínium \(Al\) vegyjelével az alsó indexben jelöljük, hogy róla van szó: 

\[V_{Al}=30\ \mathrm{{cm}^3}\]

\[{\varrho }_{Al}=2,7\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}\]

\[m_{Al}={\varrho }_{Al}\cdot V_{Al}\]

\[m_{Al}=2,7\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}\cdot 30\ \mathrm{{cm}^3}\]

\[m_{Al}=81\ \mathrm{g}=0,081\ \mathrm{kg}\]

b)  Mekkora erő feszíti a kötelet, ha az alumínium hasábot a levegőben lógatjuk a kötélen?

$0,81\ \mathrm{N}$

A kötélerő meggondolásához nézzük meg, milyen erők hatnak az alu hasábra:

Piros színnel jelöltük az alumíniumból készült hasábra ható erőket: egyrészt a Föld az $m_{Al}\cdot g$ nehézségi erővel húzza lefelé, másrészt a kötél $K$ kötélerővel húzza felfelé. Mivel a hasábra más függőleges erő nem hat (a kék színű erő a hasáb súlya, mi egy olyan erő amit a hasáb fejt ki a felfüggesztésre, nem pedig a hasábra hat), ezért ez a két erő együtt adja össze a hasábra ható eredő erőt. A hasáb nyugalomban van, ezért a gyorsulása nulla. Így a rá ható erők összessége, eredője, ami Newton II. törvénye szerint mindig megegyezik a test tömegének és gyorsulásának szorzatával:

\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]

tehát az eredő erőnek nullának kell lennie:

\[\mathit{\Sigma}F=0\]

Írjuk be a fenti egyenletbe a hasábra ható erőket:

\[K+m_{Al}\cdot g=0\]

Válasszunk függőlegesen egy pozitív irányt, mondjuk felfelé, és írjuk be az ismert erőket, méghozzá előjelhelyesen, vagyis a pozitív irányba (felfelé) mutatókat pozitív előjellel, a negatív irányba (lefelé) mutatókat pedig negatív előjellel. Az ismeretlen \(K\) kötélerő esetén nem kell "megálmodnunk" annak irányát, hiszen majd az egyenlet megoldása lerántja róla a leplet: ha pozitív szám jön ki \(K\)-ra, akkor ő felfelé mutat, ha meg negatív, akkor meg lefelé.

\[K-0,081\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=0\]

\[K-0,81\ \mathrm{N}=0\]

\[K=0,81\ \mathrm{N}\]

Tehát (nem váratlan eredményként) a \(K\) kötélerő felfelé hat az alumíniumhasábra.

c)  Mekkora erő feszíti a kötelet, ha az alumínium hasábot vízbe lógatjuk úgy, hogy teljesen elmerüljön benne, de ne érjen hozzá sehol az edényhez?

$0,51\ \mathrm{N}$

A felhajtóerő a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával egyenlő, amibe belemerül. Képlettel:

\[F_{felh}=m_{kisz}\cdot g\]

A kiszorított víz tömege kiszámítható a sűrűségéből és a térfogatából:

\[m_{kisz}={\varrho }_{kisz}\cdot V_{kisz}\]

Vegyük észre, hogy a kiszorított térfogat azonos az alumínium hasáb térfogatával, hiszen pont annyi térfogatú vizet szorít ki, mint amekkora a saját térfogata:

\[V_{kisz}=V_{Al}\]

amit pedig ismerünk:

\[V_{kisz}=V_{Al}=30\ \mathrm{{cm}^3}\]

A kiszorított folyadék esetünkben víz, így a sűrűségét tudjuk:

\[{\varrho }_{kisz}=1\ \mathrm{frac{g}{{cm}^3}}\]

Írjuk be ezeket az adatokat:

\[m_{kisz}={\varrho }_{kisz}\cdot V_{kisz}\]

\[m_{kisz}=1\ \mathrm{\frac{g}{{cm}^3}}\cdot 30\ \mathrm{{cm}^3}\]

\[m_{kisz}=30\ \mathrm{g}=0,03\ \mathrm{kg}\]

Ezt pedig írjuk be a felhajtóerő képletébe:

\[F_{felh}=m_{kisz}\cdot g\]

\[F_{felh}=0,03\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

\[F_{felh}=0,3\ \mathrm{N}\]

Az $K$ kötélerő meghatározásához gondoljuk végig, milyen erők hatnak a hasábra! Fent húzza felfelé az $K$ kötélerő. Középen húzza lefelé az $m\cdot g$ nehézségi erő. Alul pedig nyomja felfelé az $F_{felh}$ felhajtóerő:

A hasáb nyugalomban van, ezért a gyorsulása nulla. Így a rá ható erők összessége, eredője, ami Newton II. törvénye szerint mindig megegyezik a test tömegének és gyorsulásának szorzatával:

\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]

tehát az eredő erőnek nullának kell lennie: $\mathit{\Sigma}F=0$. Elég a függőleges erőket vizsgálnunk, mivel az izgalmas dolgok a függőleges erőkkel vannak. Ezért válasszunk függőlegesen egy pozitív irányt, mondjuk felfelé. Írjuk be a fenti egyenletbe a hasábra ható erőket előjelhelyesen, vagyis a pozitív irányba (felfelé) mutatókat pozitív előjellel, a negatív irányba (lefelé) mutatókat pedig negatív előjellel:

\[\mathit{\Sigma}F=0\]

\[K+m_{Al}\cdot g+F_{felh}=0\]

Írjuk be az adatainkat, és az ismert irányú erőknél az előjellel jelezzük, hogy az milyen irányú:

\[K-0,81\ \mathrm{N}+0,3\ \mathrm{N}=0\]

\[K=0,51\ \mathrm{N}\]

Pozitív számot kaptunk eredményül, ami a választott pozitív irányunk alapján felfelé mutató erőt jelent. Ez megnyugtató, hiszen a kötélnek felfelé kell hatnia a hasábra, hiszen az alumínium (mivel nagyobb a sűrűsége a vízénél) a vízben lemerülne, így a kötélerőnek felfelé húzva kell megtartania. Azt mondhatjuk, hogy a kötélerő és a felhajtóerő együttesen képesen csak ellensúlyozni a nehézségi erő hatását, ami önmagában lerántaná a hasábot. A felhajtóerő besegít a kötélnek: amikor a hasábot a kötéllel a levegőben lógatjuk, akkor a kötél a hasáb teljes súlyának megfelelő erővel kell hasson, viszont a vízben a kötélerőnek a felhajtóerővel együtt kell produkálnia a a hasábra ható nehézségi erővel azonos erőt.

Szokás ezt úgy is megfogalmazni, hogy a vízbe lógatástól a hasáb "veszít a súlyából", méghozzá a kiszorított víz súlyának megfelelő nagyságot. Ez a megfogalmazás kicsit zavaros, hiszen a súly definíciója így szól, hogy az az erő, amivel a test nyomja az alátámasztást vagy húzza a felfüggesztést. A levegőben lógó hasáb egyetlen ilyen erőt fejt ki: húzza a számára felfüggesztést jelentő kötelet. Ez a kötélerő ellenereje, amit a hasáb fejt ki a kötélre. Vízbe lógazva viszont a hasáb 2 olyan erőt is kifejt, amire ráillik a súly definíciója: egyrészt továbbra is húzza a felfüggesztést jelentő kötelet, másrészt nyomja a számára alátámasztást jelentő vizet (ez a felhajtóerő ellenereje). Ez a két erő összesen pont kiadja a hasáb súlyát, tehát a súlyvesztés csak úgy igaz, ha a súly definícióját teljesítő erők közül mi kiválasztjuk a számunkra "érzékelhetőt" (kifejteni szükségeset), vagyis a kötélerőt, és mivel az lecsökkent a vízbe merítéskor, ezért azt mondjuk, hogy a hasáb súlya lecsökkent. A helyzet az, hogy a súly fogalma bizonyos helyzetekben hasznos, más helyzetekben szerencsétlen, bonyodalmakat okozó.