a)  Mi történik, ha a golyó és a folyadék hőmérséklete ugyanannyival, kis mértékben megnő?

Attól függ, hogy kinek nagyobb a térfogati hőtágulási együtthatója, a golyó anyagának vagy a folyadéknak.

Mivel általában a folyadékoké nagyobb szokott lenni, mint a szilárd anyagoké, ezért az esetek elsöprő többségében a kezdetben lebegő golyó melegítés hatására lefelé fog elindulni, vagyis lesüllyed az edény aljára.

A hőmérsélket növekedésével a szilárd és folyékony anyagok általában kitágulnak. A víz $0\ \mathrm{{}^\circ C}$ és $4\ \mathrm{{}^\circ C}$ között mondjuk pont nem, ebben a hőmérsélkettartományban ugyanis a víz ellentétesen viselkedik (abnormális a hőtágulása). De most $20\ \mathrm{{}^\circ C}$-ról melegítünk, szóval még ha víz is a folyadékunk, az is kitágul. A szilárd golyó szintén kitágul.

Kezdetben a golyó nyugalomban van, ezért a rá ható nehézségi erőt pont kioltja a golyóra ható felhajtóerő. Mivel ez a két erő pont függőleges, csak ellentétes irányúak, azért ugyanakkor nagyságúak kell, hogy legyenek.

Ha a hőmérséklet megnő, a golyóra ható \(m\cdot g\) nehézségi erő semmit sem változik. Mi lesz a felhajtóerővel? A felhajtóerő a kiszorított folyadék súlyával egyezik meg:

\[F_{felh}={\varrho }_{foly}\cdot V_{kisz}\cdot g\]

Ha a hőmérsékelt megnő, akkor a golyó kitágul, így az álatala kiszorított $V_{kisz}$ térfogat megnő. A folyadék kitágulása miatt viszont a folyadék ${\varrho }_{foly}$ sűrűsége lecsökken. A két hatás eredménye attól függ, melyik hatás nagyobb. Elvileg akár az is bekövetkezhet, hogy a golyó térfogata pont annyiszorosára növekszik, ahányszorosára a foladék sűrűsége csökken. Ez esetben a golyó továbbra is lebegni fog a vízben. De ha a golyó tágulása nagyobb arányú, mint ahányszoros a  víz sűrűségcsökkenése, akkor a felhajtóerő megnő, így a golyó felfelé kezd el gyorsulni. Ha pedig a folyadék tágulása nagyobb arányú, mint a golyó tágulása, akkor a felhajtóerő lecsökken, így a golyó süllyedni kezd.

Nézzük meg, konkrétan mekkora lesz a felhajtóerő, ha a hőmérséklet \(\mathit{\Delta}T\) értékel megnő! Legyen a golyó térfogati hőtágulási együtthatója \({\beta }_g\), a folyadék térfogati hőtágulási együtthatója pedig \({\beta }_{foly}\) érték! Ekkor a golyó új térfogata, ami az új kiszorított térfogattal egyezik meg:

\[{V'}_{kisz}=V_{kisz}\cdot \left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)\]

Pontosan mekkorára változik a folyadék sűrűsége? A sűrűség definíciója szerint:

\[\varrho =\frac{m}{V}\]

\[{\varrho }_{foly}=\frac{m_{foly}}{V_{foly}}\]

A folyadék sűrűsége a melegítés után:

\[{\varrho '}_{foly}=\frac{m_{foly}}{{V'}_{foly}}\]

Alkalmazzuk a hőtágulási törvényt a folyadék hőtágulására:

\[{\varrho '}_{foly}=\frac{m_{foly}}{V_{foly}\cdot \left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}\]

\[{\varrho '}_{foly}=\frac{{\varrho }_{foly}}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}\]

Írjuk be mindezeket az új felhajtóerő kifejezésébe:

\[{F'}_{felh}={\varrho '}_{foly}\cdot {V'}_{kisz}\cdot g\]

\[{F'}_{felh}=\frac{{\varrho }_{foly}}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}\cdot V_{kisz}\cdot \left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)\cdot g\]

Rendezzük a tényezők sorrendjét:

\[{F'}_{felh}=\frac{\left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}\cdot {{\varrho }_{foly}\cdot V}_{kisz}\cdot g\]

A végén megjelent az eredeti felhajtóerő:

\[{F'}_{felh}=\frac{\left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}\cdot F_{felh}\]

Tehát ha

\[\frac{\left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}>0\]

akkor a felhajtóerő megnő, ezért a golyó felfelé fog elindulni.

Ha pedig

\[\frac{\left(1+{\beta }_g\cdot \mathit{\Delta}T\right)}{\left(1+{\beta }_{foly}\cdot \mathit{\Delta}T\right)}<0\]

akkor a felhajtóerő lecsökken, így  a golyó lefelé indul meg.

De az elmélet még nem minden, vajon melyik esetnek van realitása? A tört értéke akkor lesz pozitív, ha a golyó ${\beta }_g$ térfogati hőtágulási együtthatója nagyobb, mint a folyadék ${\beta }_{foly}$ térfogati hőtágulási együtthatója. Lehetséges ez? Van-e olyan szilárd és folyadék anyagpáros, amik hőtágulása tudja ezt? Általában azt szoktuk mondani, hogy folyékony anyagok hőtágulása nagyobb, mint a szilárd anyagoké. A paraffin viasz térfogati hőtágulási együtthatója elérheti, sőt meg is meghaladhatja néhány folyadékét, például a vízét, ráadásul a paraffin viasz sűrűsége közel van a víz sűrűségéhez, így némi ügyeskedéssel (egy paraffin golyó belsejébe fémgolyókat juttatva) elérhetjük, hogy a golyó sűrűsége megegyezzen a vízével, és nagyobb legyen a hőtágulása, így melegítés hatására felemelkedjen.

b)  A Galilei hőmérőben olyan, zárt üvegbogyók úsznak átlátszó vízben, amik belsejében különböző arányban van színezett víz és levegő, így a sűrűségük eltérő. A víznél kisebb sűrűségűek úsznak a víz felszínén, a víznél nagyobb sűrűségűek lent vannak az edény alján, és ha esetleg van pont egy olyan, aminek megegyezik a sűrűsége a vízével, akkor az valahol a kettő között lebeg. Minden úszón van egy kis, hőmérsékletet jelző biléta. Vajon az alacsonyabb hőmérsékleti jelzésű üveg úszók vannak a vízfelszínen (a magasabb hőmérsékleti jelzésűek pedig a víz alján), vagy pedig fordítva?

A magasabb hőmérsékleti jelzésű úszók vannak felül.

 A Galilei hőmérőben az épp lebegő üvegcsepp mutatja a pillanatnyi hőmérsékletet, vagy ha ilyen helyzetű üvegcsepp nincs, akkor a "felül lévők közül a legalsó" által jelzett hőmérséklet és az "alul tanyázók közül a legfelső" jelezte hőmérsékletek közötti érték van a szobában.

A víz térfogati hőtágulási együtthatója

\[{\beta }_{víz}\approx 250\cdot {10}^{-6}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}}\]

míg a hőálló üvegé, amiből az üvegtechnikusok által készített tárgyak, így a Galilei-hőmérő is van:

\[{\beta }_{üveg}\approx 4\cdot {10}^{-6}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}}\]

Tehát a Galilei-hőmérőben a víz hőtágulása kb. 80‑szor nagyobb, mint az üvegé. Így melegítéskor a víz sokkal nagyobbat tágul, mint az üveg úszó. Emiatt az úszó által kiszorított víz térfogata csak elhanyagolható mértékben változik, míg a víz sűrűsége ennél 80-szor nagyobb mértékben csökken. Márpedig az üveg úszóra ható felhajtóerő:

\[F_{felh}=

lecsökken.

Ha egy üvegúszó a melegítés kezdetekor épp lebegett a vízben, akkor a rá ható nehézségi erő épp megegyezett a felhajtóerővel. Ha a felhajtóerő lecsökken, akkor az erőegyensúly megbomlik, az eredő erő lefelé fog mutatni.

Ennek eredményeként a kezdetben a víz felszínén úszó üvegbogyók mindegyike egy kellően magas hőmérsékleten (amikor a rá ható felhajtóerő épp kisebbé válik a rá ható nehézségi erővnél), elkezd lesüllyedni. Melegedés hatására az egyre magasabb hőmérsékletűi jelzésű üvegúszóknak kell középen lenniük, vagyis középre kerülniük, lebegő állapotba jutniuk. És mivel melegítéstől az úszók sorra leszállnak, ezért muszáj, hogy kezdetben felül legyenek a magas hőmérsékleti jelzésű úszók, lent pedig az alacsony hőmérsékleti jelzésűek. És tényleg: