Egy átlagos, felnőtt 7-es méretjelzésű kosárlabda tömege üresen 22 oz (1 oz = 1 ounce = 1 uncia = 28,35 gramm). Az NBA előírás szerint 7,5-8,5 PSI túlnyomásnak kell benne lennie (PSI = pound per square inch = fontsúly négyzethüvelykenként; 1 font = 0,4536 kg; 1 inch = 1 hüvelyk = 2,54 cm). A kosárlabdában kb. 4 gramm tömegű levegő van, ha az előírt nyomástartomány közepére fújták fel. A külső légnyomás 100 kPa, a hőmérséklet 24 ºC, a levegő moláris tömege 29 g/mol.
1. Mekkora a kosárlabdában a levegő nyomása, ha az előírt nyomástartomány közepére fújták fel?
\(p=156.246\ Pa=1,5625\ bar\)
A $p$ nyomást nem ismerjük, csak a $p_+$ túlnyomást. De azt is először át kell váltanunk SI egységbe:
\[p_+=8\ PSI\]
\[p_+=8\ \frac{fontsúly}{{\left(2,54\ cm\right)}^2}\]
\[p_+=8\ \frac{fontsúly}{6,4516\ {cm}^2}\]
De mi az a fontsúly? Egy test súlya pont akkora, amekkora a rá ható nehézségi erő, vagyis úgy számíthatjuk ki, hogy a tömegét a $g$ nehézségi gyorsulással megszorozzuk:
\[1\ fontsúly=0,4536\ kg\cdot 10\ \frac{m}{s^2}=4,536\ N\]
\[p_+=8\ \frac{4,536\ N}{6,4516\ {cm}^2}\]
Át kell váltanunk a ${cm}^2$-t $m^2$-be:
\[p_+=8\ \frac{4,536\ N}{0,00064516\ m^2}\]
\[p_+=56.246\ Pa\]
Mivel ez még csak a túlnyomás, ezért a kosárlabdában lévő levegő nyomásának kiszámításához ehhez hozzá kell adnunk a külső légnyomást, ami 100 kPa:
\[{p=p_k+p}_+\]
\[p=100.000\ Pa+56.246\ Pa\]
\[p=156.246\ Pa=1,5625\ bar\]
Tehát a kosárlabdában alig több mint 1,5 bar nyomás van.
2. Mekkora a kosárlabda belső térfogata?
\(V=0,0021788\ m^3\)
\(V=2,1788\ liter\)
Közönséges körülmények között (a megadott nyomás és hőmérséklet esetén) a levegő jó közelítéssel ideális gáznak tekinthető. Ezért használjuk az ideális gázok állapotegyenletét:
\[p\cdot V=n\cdot R\cdot T\]
A $p$ nyomást már kiszámoltuk:
\[p=156.246\ Pa\]
Az univerzális gázállandót szintén ismerjük:
\[R=8,31\ \frac{J}{mol\cdot K}\]
És a hőmérsékletet is, de azt is át kell váltanunk SI egységbe, azaz Kelvin-be:
\[T=24\ {}^\circ C=297\ K\]
Ismeretlen továbbá az $n$ anyagmennyiség is, így az egyenletből még nem határozhatjuk meg a nyomást. Viszont ismerjük a kosárlabdába juttatott gáz $m$ tömegét:
\[m=4\ g=0,004\ kg\]
Márpedig az $n$ anyagmennyiség az $M$ moláris tömeggel szorozva kiadja a $m$ tömeget:
\[m=n\cdot M\]
Ez alapján felírhatjuk az ideális gázok állapotegyenletének tömeget tartalmazó alakját. Ehhez be kell írnunk az $n$ anyagmennyiség helyére, hogy
\[n=\frac{m}{M}\]
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
A levegő moláris tömegét megadták:
\[M_{lev}=29\ \frac{g}{mol}=0,029\ \frac{kg}{mol}\]
Most már minden adatot ismerünk, így beírhatjuk az állapotegyenletbe:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
\[156.246\ Pa\cdot V=\frac{0,004\ kg}{0,029\ \frac{kg}{mol}}\cdot 8,31\ \frac{J}{mol\cdot K}\cdot 297\ K\]
(Mivel minden adatot SI egységben írtunk be, a mértékegységeket el is hagyhatjuk, és az ismeretlent SI egységben kapjuk meg.)
\[V=0,0021788\ m^3\]
\[V=2,1788\ liter\]