Egy alul zárt, felül nyitott hengerben a $m=120\ gramm$ tömegű, könnyen mozgó, nyugalomban lévő dugattyú klórgázt zár be. A henger belső átmérője 8 cm, a dugattyú alja 40 cm-rel van az edény alja fölött. A hőmérséklet 20 ºC, a külső légnyomás 100 kPa.
1. Mekkora a bezárt klórgáz tömege és anyagmennyisége?
\(m=0,005846\ kg=5,846\ g\)
\(n=0,0823\ mol\)
A klórgáz tömegének kiszámításához az ideális gáz állapotegyenletét kell használnunk:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
Ehhez ki kell számolnunk a gáz nyomását, térfogatát, hiszen a klórgáz moláris tömege és a hőmérséklete ismert:
\[M=35,5\cdot 2\ \frac{g}{mol}=0,071\ \frac{kg}{mol}\]
mivel a klórgáz kétatomos molekulákból áll. A hőmérséklet:
\[T=20\ {}^\circ C=293\ K\]
A nyomás kiszámításához írjuk fel a dugattyúra ható erőket!
Belülről nyomja a $p_1$ nyomás felfelé, méghozzá $A$ felületen, ez $p_1\cdot A$ erőt jelent. A dugattyúra hat ezen kívül az $m\cdot g$ nehézségi erő, ez lefelé hat. Valamint felülről nyomja a külső légnyomás, ez $p_0\cdot A$ erőt jelent.
Számítsuk ki a dugattyú $A$ keresztmetszetét:
\[A=r^2\cdot \pi \]
\[A={\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cdot \pi \]
\[A={\left(\frac{8\ cm}{2}\right)}^2\cdot \pi \]
\[A={\left(0,04\ m\right)}^2\cdot \pi \]
\[A=0,005\ m^2\]
A pozitív irányunkat vegyük (például) felfelé, és írjuk fel előjelhelyesen a dugattyúra ható függőleges erők eredőjét. Mivel a dugattyú nyugalomban van, ezért a rá ható függőleges erők eredője nulla:
\[\mathit{\Sigma}F_y=0\]
\[p_1\cdot A-m\cdot g-p_0\cdot A=0\]
A dugattyű $m$ tömege SI mértékegységben:
\[m=120\ g=0,12\ kg\]
a $p_0$ külső légnyomás:
\[p_0=100\ kPa={10}^5\ Pa\]
a $g$ nehétségi gyorsulás pedig:
\[g=10\ \frac{m}{s^2}\]
Ha mindent SI egységben írunk be, akkor a mértékegységeket elhagyhatjuk:
\[p_1\cdot 0,005-0,12\cdot 10-{10}^5\cdot 0,005=0\]
\[p_1-240-{10}^5=0\]
\[p_1=100.240\ Pa\]
Számítsuk ki a klórgáz $V_1$ térfogatát:
\[V_1=A\cdot h_1\]
\[V_1=0,005\ m^2\cdot 40\ cm\]
\[V_1=0,005\ m^2\cdot 0,4\ m\]
\[V_1=0,002\ m^3\]
Írjuk be az adatokat az állapotegyenletbe:
\[p_1\cdot V_1=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
\[100.240\ Pa\cdot 0,002\ m^3=\frac{m}{0,071\ \frac{kg}{mol}}\cdot 8,31\ \frac{J}{kg\cdot K}\cdot 293\ K\]
\[m=0,005846\ kg=5,846\ g\]
Az anyagmennyiséget ebből már könnyen kiszámolhatjuk:
\[n=\frac{m}{M}\]
\[n=\frac{0,005846\ kg}{0,071\ \frac{kg}{mol}}\]
\[n=0,0823\ mol\]
2. A tartály aljától számítva milyen magasságban állapodik meg a dugattyú alja, ha a dugattyúra ráhelyezünk egy 8 kg-os nehezéket, és megvárjuk, hogy beálljon a hőmérsékleti egyensúly? A szoba hőmérséklete mindvégig 20 ºC.
3. Ezután hány ºC-ra kell növekednie a gáz hőmérsékletének, hogy a dugattyú visszatérjen a kiindulási helyére?
4. Ezután - a hőmérsékletet a megnövekedett értéken tartva - hány gramm klórgázt kell kiengedni a tartályból, hogy a dugattyú visszatérjen a második állapotban lévő helyzetébe?