Az USA igazságszolgáltatásában, ahol az ítéletet az érzelmi befolyásolás ellen kevésbé felvértezett laikusokból álló esküdtszék hozza, a védőügyvédek egyszerű, de hatásos trükkje, hogy egy idős vádlottat esendő, gyenge emberként “tálalnak”, ezzel azt sugallva, hogy az ítélet előtt álló bácsika a társadalomra már nem veszélyes; legjobb lenne hazaengedni és hagyni nyugodtan meghalni, ahelyett, hogy a kellemetlen börtönkörülményekkel kínoznák az életéből hátra lévő kevéske időben. A védelem ezen taktikájának látványos (színházi) kelléke a tolókocsi és a kócos haj mellett a (kórházakban, idősotthonokban használtatos) hajlékony csövön keresztül az orrba fújt oxigén, mely a szervezet csökkent oxigénfelvevő-képességének kompenzálására szolgál. Ilyenkor az oxigén a tolókocsi alján vagy hátulján lévő nagynyomású (komprimált) állapotú palackból érkezik. “Hogyan tudna ártani bárkinek, aki már levegőt is alig kap” - gondolják sajnálkozva az esküdtek.
a) Egy kórházi oxigénpalack töltési nyomása \(20\ \mathrm{{}^\circ C}\)-on \(200\ \mathrm{bar}\). Hány \(\mathrm{kg}\) a gyári töltete egy \(20\ \mathrm{l}\)-es palacknak?
\(m=5,257\ \mathrm{kg}\)
A megadott $200\ \mathrm{bar}$ nyomáson a gázok már nem túl jó közelítéssel tekinthetők ideális gáznak, de nekünk nagyon nincs más választásunk, mint hogy mégis annak tekintjük. Ezért végül is használjuk az ideális gázok állapotegyenletét:
\[p\cdot V=n\cdot R\cdot T\]
Annak is mindjárt a tömeggel felírt alakját, hiszen a gáz tömegét keressük:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
Ismerjük a bezárt oxigéngáz nyomását:
\[p=200\ \mathrm{bar}=200\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}=2\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}\]
A gáz térfogata $20\ \mathrm{liter}$, de ezt át kell váltanunk SI mértékegységbe:
\[V=20\ \mathrm{liter}=20\ \mathrm{dm^3}=0,02\ \mathrm{m^3}\]
Az oxigéngáz moláris tömegét fejből tudjuk, persze ügyelve arra, hogy kétatomos molekulákból áll:
\[M_{\mathrm{O_2}}=32\ \mathrm{\frac{g}{mol}}=0,032\ \mathrm{\frac{kg}{mol}}\]
Az univerzális gázállandót szintén ismerjük:
\[R=8,31\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\]
És a hőmérsékletet is ismerjük, de azt is át kell váltanunk SI egységbe, azaz Kelvin-be:
\[T=20\ \mathrm{{}^\circ C=293\ K}\]
Most már minden adatot ismerünk, így beírhatjuk az állapotegyenletbe:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
\[2\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa\cdot 0,02\ m^3=\frac{m}{0,032\ \displaystyle \frac{kg}{mol}}\cdot 8,31\ \frac{J}{mol\cdot K}\cdot 293\ K}\]
(Mivel minden adatot SI egységben írtunk be, a mértékegységeket el is hagyhatjuk, és az ismeretlent SI egységben kapjuk meg.)
\[m=5,257\ \mathrm{kg}\]
b) Mekkora lesz a nyomás a palackban, ha a palackot kivisszük a $-13\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os hidegbe? Ábrázold $p\thinspace \unicode{x2013} \thinspace V$ diagramon a folyamatot, jelölve minden adatot, mértékegységgel együtt (a hőmérsékleteket is); a tengelyeket; a kezdeti és végállapotot; a folyamat irányát!
\(p_2=1,775\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}\)
Induljunk ki az állapotegyenletből:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
Képzeletben húzzuk alá azokat az állapotjelzőket,, amik állandóak maradnak a folyamat során: ezek a térfogat, a tömeg, a moláris tömeg és az univerzális gázállandó. A nyomás és a hőmérséklet változóak. Rendezzük az egyenlet egyik oldalára a változó mennyiségeket, a másik oldalára pedig az állandóakat:
\[\frac{p}{T}=\frac{\underline{m}\cdot \underline{R}}{\underline{V}\cdot \underline{M}}\]
Mivel a jobb oldali mennyiségek mind állandóak, ezért az egész jobb oldali kifejezés állandó:
\[\frac{\underline{m}\cdot \underline{R}}{\underline{V}\cdot \underline{M}}=\mathrm{állandó}\]
ami miatt a bal oldali kifejezés is állandó:
\[\frac{p}{T}=\mathrm{állandó}\]
Vagyis legyártottuk magunknak a folyamatra jellemző gáztörvényt. Ha ez a kifejezés állandó, akkor a kezdeti (1-es) állapotban ugyanakkora, mint a végső (2-es) állapotban:
\[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]
A kezdeti nyomást és hőmérékletet megadták, és az 1. kérdésben már át is váltottuk őket SI egységekbe:
\[p_1=2\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}\]
\[T_1=293\ \mathrm{K}\]
A későbbi állapotról a hőmérsékletet tudjuk, de át kell váltanunk:
\[T_2=-13\ \mathrm{{}^\circ C}=260\ \mathrm{K}\]
Írjuk be a gáztörvénybe ezeket az adatainkat:
\[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]
\[\mathrm{\frac{2\cdot {10}^7\ Pa}{293\ K}}=\frac{p_2}{260\ \mathrm{K}}\]
Ebből a végső nyomás:
\[p_2=1,775\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}\]
c) Mekkora lesz a nyomás a palackban, ha a gáz tömegének $85\%$‑át már el lett használva, és a beteget kivitette magát a $15\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os hidegbe az udvarra, mert a nikotin foglya?
\(p_3=2,949\cdot {10}^6\ \mathrm{Pa}\)
Megint induljunk ki az állapotegyenletből:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
A folyamatot képzeletben akár az első, akár a második állapotból indíthatjuk. Indítsuk mondjuk az első állapotból! Képzeletben húzzuk alá azokat az állapotjelzőket, amik állandóak maradnak a folyamat során: ezek a térfogat, a moláris tömeg és a gázállandó. A nyomás, a tömeg és a hőmérséklet változik. Rendezzük az egyenlet bal oldalára a változó mennyiségeket, a jobb oldalára pedig az állandóakat:
\[\frac{p}{m\cdot T}=\frac{\underline{R}}{\underline{V}\cdot \underline{M}}\]
Mivel a jobb oldali mennyiségek mind állandóak, ezért az egész jobb oldali kifejezés állandó:
\[\frac{\underline{R}}{\underline{V}\cdot \underline{M}}=\mathrm{állandó}\]
ami miatt a bal oldali kifejezés is állandó:
\[\frac{p}{m\cdot T}=\mathrm{állandó}\]
Vagyis legyártottuk magunknak a folyamatra jellemző gáztörvényt. Ha ez a kifejezés állandó, akkor a kezdeti (1‑es) állapotban ugyanakkora, mint a legvégső (3‑as) állapotban:
\[\frac{p_1}{m_1\cdot T_1}=\frac{p_3}{m_3\cdot T_3}\]
A kezdeti nyomást és hőmérékletet megadták, és az 1. kérdésben már át is váltottuk őket SI egységekbe:
\[p_1=2\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}\]
\[T_1=293\ \mathrm{K}\]
A kezdeti tömeget pedig kiszámoltuk az 1. kérdésben:
\[m_1=5,257\ \mathrm{kg}\]
A legvégső (3‑as) állapotban a hőmérsékletet tudjuk, csak át kell váltani SI egységbe:
\[T_3=15\ \mathrm{{}^\circ C=288\ K}\]
A gáz tömegének $85\%$‑át már elhasználtuk, akkor maradt $15\%$. Tehát a legvégén a kezdeti tömeg $15\%$‑a van:
\[m_3=0,15\cdot m_1\]
\[m_3=0,15\cdot 5,257\ \mathrm{kg}\]
\[m_3=0,7885\ \mathrm{kg}\]
Most már csak a legvégső nyomás az ismeretlen, úgyhogy írjuk be az adatainkat a legyártott gáztörvénybe:
\[\frac{p_1}{m_1\cdot T_1}=\frac{p_3}{m_3\cdot T_3}\]
\[\frac{2\cdot {10}^7\ \mathrm{Pa}}{5,257\ \mathrm{kg}\cdot 293\ \mathrm{K}}=\frac{p_3}{0,7885\ \mathrm{kg}\cdot 288\ \mathrm{K}}\]
Ebből a $p_3$ nyomás:
\[p_3=2,949\cdot {10}^6\ \mathrm{Pa}\]