a)  A fenti sűrűségadatok $10\ \mathrm{ºC}$‑ra vonatkoznak. Mekkora zsírcsepp átmérő esetén adódik ki a \(\displaystyle 0,4\ \mathrm{\frac{cm}{óra}}\) felfelé úszási sebesség, ha a tej viszkozitására az alábbi grafikont ismerjük?

$d=6,6\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{m}$

A tejzsír cseppecskére a felfelé úszása során 3 erő hat:

• nehézségi erő
• felhajtóerő
• közegellenállás (Stokes‑féle)

Mivel a felfelé úszása állandó sebességű, ezért a három erő eredője nulla kell legyen. Amikor beírjuk az erőket a mozgásegyenletbe, jeleznünk kell az irányukat is, ezért először választanunk kell pozitív irányt. Célszerű lefelé venni, mivel a 3 erő közül 2 lefelé mutat:

\[F_{neh}-F_{felh}+F_{\textit{közegell}}=0\]

Nézzük ezeket részletesen:

\[F_{neh}=m\cdot g\]

A felhatóerő a kiszorított folyadék (plazma) súlyával egyező nagyságú:

\[F_{felh}={\varrho }_P\cdot V\cdot g\]

A közegellenállási erő a Stokes‑féle súrlódási törvény szerint:

\[F_{\textit{közegell}}=6\pi \cdot \eta \cdot r\cdot v\]

ahol $r$ a zsírcseppecske sugara, a $v$ pedig a felfelé úszásának sebessége, az $\eta $ pedig a számára közeget jelentő plazma viszkozitása .

Ezeket beírva a mozgásegyenletbe:

\[m\cdot g-{\varrho }_P\cdot V\cdot g+6\pi \cdot \eta \cdot r\cdot v=0\]

Fejezzük ki a zsírcsepp $m$ tömegét az $r$ sugarával:

\[r={\varrho }_{ZS}\cdot V\]

Mivel a zsírcseppet gömb alakúnak vesszük, a gömb térfogatképletét használhatjuk:

\[V=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\]

Ezzel

\[m={\varrho }_{ZS}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot r^3\]

A zsírcsepp térfogatára kapott összefüggést írjuk be a felhajtóerőbe is:

\[F_{felh}={\varrho }_P\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot r^3\cdot g\]

Írjunk be mindent a mozgásegyenletbe:

\[{\varrho }_{ZS}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot r^3\cdot g-{\varrho }_P\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot r^3\cdot g+6\pi \cdot \eta \cdot r\cdot v=0\]

Egyszerűsítsünk le a zsírcsepp $r_{ZsCs}$ sugarával és a $\pi $‑vel és 2‑vel:

\[{\varrho }_{ZS}\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g-{\varrho }_P\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g+3\cdot \eta \cdot v=0\]

Ezt a zsírcsepp $v_{ZsCs}$ sebességére kirendezve:

\[{\varrho }_{ZS}\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g-{\varrho }_P\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g=-3\cdot \eta \cdot v\]

\[{\varrho }_P\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g-{\varrho }_{ZS}\cdot \frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g=3\cdot \eta \cdot v\]

A bal oldalon kiemelhetünk:

\[\frac{2}{3}\cdot r^2\cdot g\cdot \left({\varrho }_P-{\varrho }_{ZS}\right)=3\cdot \eta \cdot v\]

\[v=\frac{2\cdot r^2\cdot g\cdot \left({\varrho }_P-{\varrho }_{ZS}\right)}{9\cdot \eta }\]

\[v=\frac{2\cdot g\cdot \left({\varrho }_P-{\varrho }_{ZS}\right)}{9\cdot \eta }\cdot r^2\]

Tehát azt kaptuk, hogy a zsírcseppecske felfelé úszási sebessége a zsírcsepp sugarának négyzetével arányosan nő.

Helyettesítsük be az adatainkat:

\[v=0,4\ \mathrm{\frac{cm}{h}}=0,4\ \frac{0,01\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}}=1,11\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

\[{\varrho }_P=1035\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]

\[{\varrho }_{ZS}=940\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]

A grafikonról pedig leolvassuk, hogy $10\ \mathrm{Celsius}$ fokon a viszkozitás kb. $\eta =206\ \mathrm{\displaystyle \frac{g\cdot cm}{s}}$

\[\eta =206\ \mathrm{\frac{g\cdot cm}{s}}=206\ \frac{{10}^{-3}\ \mathrm{kg}\cdot {10}^{-2}\ \mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2,06\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{\frac{kg\cdot m}{s}}\]

Az adatokat beírva:

\[1,11\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=\frac{2\cdot 10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\cdot \left(1035\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}-940\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}\right)}{9\cdot 2,06\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg\cdot m}{s}}}\cdot r^2\]

\[1,11\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=\frac{2\cdot 10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\cdot 95\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}}{9\cdot 2,06\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg\cdot m}{s}}}\cdot r^2\]

\[r=3,3\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{m}\]

vagyis a zsírcseppecskék átmérője:

\[d=6,6\cdot {10}^{-6}\ \mathrm{m}\] 

b)  Egy tejipari dokumentum szerint a zsírcseppecskék átmérője 1 és 20 mikrométer között változik, átlegosan 2‑4 mikrométer. Továbbá:

"A gyakorlati tapasztalatok szerint a tej gyorsabban fölöződik fel, mint ahogy a zsírgolyócskák átlagos átmérőjét alapul véve kiszámítható. Ennek az a magyarázata, hogy a tejben lévő zsírgolyócskák egy része halmazokba tömörül, és ezek a halmazok úgy viselkednek, mintha nagy zsírgolyócskák lennének."

Miért úsznak gyorsabban felfelé a nagyobb átmérőjű zsírgolyók, mint a kisebb átmérőjűek?

A zsírcseppecskére ható három erő közül kettő a zsírcseppecske sugarának köbével arányos, a harmadik viszont csak a sugarával.

Az előző kérdésben azt kaptuk, hogy a zsírcseppecske felfelé úszási sebessége a zsírcsepp sugarának négyzetével arányosan nő:

\[v=\frac{2\cdot g\cdot \left({\varrho }_P-{\varrho }_{ZS}\right)}{9\cdot \eta }\cdot r^2\]

Ez alapján egy 2‑szer (3‑szor) nagyobb sugarú zsírcsepp 4‑szer (9‑szer) nagyobb sebességgel úszik felfelé.