Vízszintes, vékony szigetelő rúdon két, a rúdra merőleges, egyforma méretű, de nem egyforma tömegű, szigetelő anyagból készült, elhanyagolható vastagságú, kör keresztmetszetű sík lap súrlódás nélkül mozoghat. A lapokat a rúd a tömegközéppontjukban döfi át, és egy eredetileg nyújtatlan, szigetelőből készült rugó köti őket össze a rúddal párhuzamosan. A lapok közötti távolság sokkal kisebb, mint a körlapok sugara. A lapokat egyenletesen pozitív töltéssel feltöltjük, és a rendszert légüres térben magára hagyjuk.
$($Adatok: mindkét lap töltése \(Q=\sqrt{6\cdot 10^{-3}\ \mathrm{Nm^2}\cdot \varepsilon_ 0}\ \mathrm{C}\), a bal oldali lap tömege \(m=150\ \mathrm{g}\), a jobb oldali lap tömege pedig \(2m\), a lapok felülete \(A=4\cdot10^{-2}\ \ \mathrm{m^2}\) , a rugóállandó \(D=2,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{N}{m}}.)\)
a) Mekkora a maximális sebesség kialakulásakor a rugó megnyúlása, és az egyes lapok elmozdulása?
\(\Delta l=3\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}\)
\(\Delta x_{\mathrm{j}}=10^{-2}\ \mathrm{m}\)
\(\Delta x_{\mathrm{b}}=2\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}\)
b) Mekkora lesz a lapok maximális sebessége?
\(v_{\mathrm{j}}=5\ \mathrm{\displaystyle \frac{cm}{s}}\)
\(v_{\mathrm{b}}=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{cm}{s}}\)
c) Milyen energia csökkenése fedezi a mechanikai energiák növekedését?
Paraméteres számolással igazold, a maximális sebesség kialakulásának folyamatára érvényes az energia megmaradásának törvénye! (A szórt mezőtől és minden veszteségtől tekints el!)
Koncz Károly, Pécs
Az elektrosztatikus mező energiájának csökkenése fedezi a mechanikai energiák növekedését.
\[\Delta E_{\mathrm{mech}}=\frac{1}{2}D(\Delta l)^2+\frac{1}{2}2mv_{\mathrm{j}}^2+\frac{1}{2}m4v_{\mathrm{j}}^2\]
\[\Delta E_{\mathrm{mech}}=\frac{1}{2}D(\Delta l)^2+\frac{1}{2}6mv_{\mathrm{j}}^2\]
\[\Delta E_{\mathrm{mech}}=\frac{1}{2}D(\Delta l)^2+\frac{1}{2}6m\left(\frac{\Delta l}{3}\sqrt{\frac{3D}{2m}}\right)^{\! 2}\]
\[\Delta E_{\mathrm{mech}}=D(\Delta l)^2\]
A mezőt figyelve:
\[\Delta E_{\mathrm{mező}}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{Q}{\varepsilon_0A}\right)^{\! 2}\Delta l\cdot A\]
\[\Delta E_{\mathrm{mező}}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}\Delta l\]
\[\Delta E_{\mathrm{mező}}=\frac{1}{2}2D\Delta l\Delta l=D(\Delta l)^2\]