A $\lambda $ bomlási állandó azt jelenti, hogy időegység (1 másodperc) alatt hányad része bomlik el a magoknak, vagy más szóval: mekkora a valószínűsége, hogy egy mag időegység alatt elbomlik.
Legyen kezdetben $N_0$ magunk! Nézzük meg, mennyi lesz 1 másodperc múlva, és jelöljük ezt $N_1$‑gyel!
Egyrészt azt mondhatjuk (1. levezetésként), hogy 1 másodperc alatt a kezdeti $N_0$ magunknak a $\lambda $‑szoros része elbomlik, vagyis a bomlásképes magok száma csökken, méghozzá ekkora mértékben:
\[\Delta N=-N_0\cdot \lambda \]
Mennyi marad az 1. másodperc végére? Az $N_0$ kezdeti érték és a $\Delta N$ változás alapján:
\[N_1=N_0+\Delta N\]
Írjuk be a $\Delta N$‑re imént kapott kifejezést ebben:
\[N_1=N_0-N_0\cdot \lambda \]
\[\boxed{N_1=N_0\cdot \left(1-\lambda \right)}\]
Másrészt azt mondhatjuk (2. levezetésként), hogy a bomlási törvény szerint:
\[N_t=N_0\cdot e^{-\lambda t}\]
Beírva az esetünkben vizsgált 1 másodpercet a $t$ idő helyére:
\[N_1=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot 1\ \mathrm{sec}}\]
\[\boxed{N_1=N_0\cdot e^{-\lambda}}\]
a) A két eredmény láthatóan eltér. Hogy lehet ez?
Ha a felezési idő az 1 másodpercnél jóval hosszabb, akkor a két eredmény bár a látvány szintjén különböző, de jó közelítéssel megegyeznek.
Ha a felezési időre nem áll fenn, hogy 1 másodpercnél jóval hosszabb, akkor a két eredmény tényleg eltér. Ennek oka, hogy ez esetben az első levezetés hibás.
Nézzük meg külön, hogy mi van, ha a felezési idő jóval nagyobb, mint a vizsgált 1 másodperc (1. eset), illetve ha nem (2. eset)!
1. eset
Ha a $T_{{1}/{2}}$ felezési idő az 1 másodperchez képest nagyon hosszú (vagyis $T_{{1}/{2}}\gg 1$), mint például az urán természetes izotópjainál, akkor a $\lambda $ bomlási állandó, ami
\[\lambda =\frac{{ln 2\ }}{T_{{1}/{2}}}\]
igen kicsi érték, vagyis $\lambda \approx 0$ teljesül. Ez esetben a második levezetésünk végén kapott exponenciális kifejezést Taylor‑sorba fejthetjük a nulla körül:
\[e^x=\sum^{\infty }_{n=0}{\frac{x^n}{n!}}\]
A sorfejtés első két tagja:
\[e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}=\frac{1}{1}+\frac{x}{1}=1+x\]
Alkalmazzuk ezt a második levezetésben kapott kifejezésre:
\[N_1=N_0\cdot e^{-\lambda }=N_0\cdot \left(1-\lambda \right)\]
ami pont az első levezetés eredményével azonos, tehát az első levezetésünk eredménye pont annyit, amennyi a második levezetésünk eredménye másodrendű közelítésben.
Ebben a $T_{{1}/{2}}\gg 1$ esetben a helyzet az, hogy az aktivitásunk az 1 másodperces folyamat során állandónak vehető. Ez az ábrán a kék görbének felel meg:
2. eset
Mi van, ha a felezési idő nem nagyobb 1‑nél? Ez esetben az általunk vizsgált 1 másodperc alatt a magokból nemcsak egy kis hányad bomlik el, hanem jelentős mennyiség. Márpedig ha a vizsgált időszak végén már érdemben kevesebb bomlásképes mag van, mint kezdetben, akkor a végén bomlások üteme is kisebb, mint kezdetben. Úgy is fogalmazhatunk, hogy például az ezredmásodpercenként elbomló magok száma a másodperc végén már kisebb, mint a másodperc elején. Emiatt az aktivitás nem vehető állandónak a folyamat során. Nem mondhatjuk, hogy a folyamat során végig fennáll, hogy másodpercenként ugyanannyi mag bomlik el (mert már az első másodperc alatt is érdemben egyre kisebb és kisebb lesz az aktivitás). Vagyis az első levezetésünkben az a hiba, hogy az aktivitásra fennálló
\[a=\lambda \cdot N\]
összefüggést nem használhatjuk úgy, hogy az egész első másodperc alatt
\[a=\lambda \cdot N_0\]
emiatt a kezdeti magokból nem vonhatjuk ki a $\lambda \cdot N_0$ mennyiséget.
Ez az eset a sárga, a zöld vagy a barna esetnek felel meg: