Vízszintes felületen lévő, szigetelő anyagból készült, súrlódásmentes, \(\alpha=45^\circ\) hajlásszögű lejtő homogén elektromos mezőben van. A térerősség vektor párhuzamos a lejtő élével, és nagysága \(\textbf E=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\ \displaystyle \frac{mg}{Q}\). A szigetelő anyagú, \(L=0,8\ \mathrm{m}\) hosszúságú fonál egyik végét a lejtőhöz rögzítjük, a másik végéhez egy kisméretű, \(m\) tömegű, \(Q\) töltésű testet erősítünk. \(g=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\).
a) A fonalat a test segítségével, az ábrán látható módon, a lejtő élével párhuzamosan feszesen tartjuk. Egy adott pillanatban a testet elengedjük. Mekkora gyorsulással indul el a test?
\(a_{\mathrm{é}}=5\sqrt{2}\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}\)
b) Hol lesz az indulás után a test sebessége maximális? Mekkora ez a sebesség?
A fonál - elengedés utáni - $45^\circ $‑os szögelfordulásakor, amikor is a testre ható erők eredője fonál irányúvá válik.
\(v_{\mathrm{max}}=2,16\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
A vizsgált mozgás során a $Q$ töltésű testre a lejtő síkjában a lejtő élével párhuzamos
$$F_1=EQ$$
$$F_1=\frac{\sqrt{2}}{2}mg$$
nagyságú, és a lejtő élére merőleges
$$F_2=mg\sin{\alpha }$$
$$F_2=\frac{\sqrt{2}}{2}mg$$
nagyságú erő hat. Legyen a továbbiakban a papír síkja a lejtő síkja! Az elengedés után addig gyorsul a test, amíg a testre ható erők eredője fonál irányúvá nem válik. Legyen ekkor a fonál szögelfordulása $\beta $! A feltétel szerint:
$$\mathrm{tg}\ \beta =\frac{F_2}{F_1}$$
$$\mathrm{tg}\ \beta =1$$
$$\beta =45^\circ $$
A maximális sebesség a munkatétel alapján számolható:
$$\frac{1}{2}mv^2_{\mathrm{max}}=F_2L\sin{\beta }-F_1L(1-\cos{\beta })$$
$$\frac{1}{2}mv^2_{\mathrm{max}}=mgL\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\big(2-\sqrt{2}\big)gL}$$
$$v_{\mathrm{max}}=2,16\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$
c) Hova kell helyeznünk a lejtőn az \(m\) tömegű testet, hogy az egyensúlyban legyen? Ebből a helyzetből legalább mekkora, a fonálra merőleges sebességgel kell elindítani a testet, hogy a lejtőn leírjon egy teljes kört?
Koncz Károly, Pécs
A test akkor van egyensúlyi helyzetben, ha a fonál irányú erők eredője zérus.
\(v_1=6,32\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
Egyensúlyi helyzetben is akkor lehet a test, ha a fonál irányú erők eredője zérus. Így az egyensúlyi helyzetben is
$$\beta =45^\circ $$
A test éppen körbemegy a körpályán, ha a fonálerő legfeljebb az egyensúlyi helyzettel átellenesen lévő pontban tűnik el. A mozgás homogén erőtérben játszódik, ahol a lejtő síkjában a nehézségi és elektrosztatikus erők eredője:
$$\sum F_{i}=\sqrt{F^2_1+F^2_2}$$
$$\sum F_i=mg$$
Az eredő erő vektora pedig $\beta $ szöget zár be a lejtő élével. Legyen a kérdéses indítási sebesség $v_1$, az átellenes pontban pedig a sebesség $v_2!$ A dinamika alapegyenletét az átellenes pontban felírva:
$$m\frac{\ v^2_2}{L}=mg$$
$$v_2=\sqrt{gL}$$
A munkatételből $v_2$ felhasználásával:
$$\frac{1}{2}mv^2_2-\frac{1}{2}mv^2_1=-2mgL$$
$$v_1=\sqrt{5gL}$$
$$v_1=6,32\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$