Két labdát ejtünk le azonos magasságból, és azok a földről visszapattannak. Az első labda lendülete közvetlenül az ütközés után épp fele az ütközés előttinek. A második labda mozgási energiája közvetlenül az ütközés után épp fele az ütközés előttinek. Melyik labda emelkedik magasabbra visszapattanás után, ha a légellenállás elhanyagolható?
A) Az első labda emelkedik magasabbra.
B) A második labda emelkedik magasabbra.
C) Pontosan egyforma magasra emelkednek.
D) Nem lehet eldönteni, mivel nem tudjuk, egyforma tömegűek-e a labdák.
A) Az első labda emelkedik magasabbra.
B) A második labda emelkedik magasabbra.
C) Pontosan egyforma magasra emelkednek.
D) Nem lehet eldönteni, mivel nem tudjuk, egyforma tömegűek-e a labdák.
A labdát tömege akármilyen is, ha azonos magasságból esnek, akkor azonos sebességgel érik el a talajt, a labdás sebessége az ütközéseik előtt azonos, legyen ez \(v\)!
Az első labdának az ütközés hatására a
\[p=m\cdot v\]
lendülete a felére csökken. És mivel az ütközéstől a labda \(m\) tömege nem változik, ez csak úgy lehetséges, hogy a \(v\) sebessége csökken a felére. Vagyis az első labda \(v/2\) sebességgel indul el az ütközés után felfelé.
A második labdának az ütközés eredményeként az
\[E_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2\]
mozgási energiája a felére csökken. Megint csak a tömege állandósága miatt ez csak úgy lehetséges, ha a \(v^2\), azaz a sebességének a négyzete csökken a felére. Jelölje \(V\) a második labda új sebességét! Azt a gondolatot, hogy a mozgási energia a felére csökken, így írhatjuk fel::
\[\frac{\displaystyle \frac{1}{2}mv^2}{2}=\frac{1}{2}mV^2\]
egyszerűsítés után marad::
\[\frac{\ v^2}{2}=V^2\]
gyököt vonva:
\[\frac{v}{\sqrt 2}=V\]
tehát a második labda sebessége az eredetinek a \(\sqrt 2\)-ed részére csökken. Mivel
\[\sqrt 2\approx1,41<2\]
ezért a második labda sebessége kisebb arányban csökken, mint az első labdáé, vagyis ő nagyobb sebességgel indul el felfelé, mint az első, így biztosan magasabbra fog jutni.