Az autópályák lényeges tulajdonsága, hogy nem keresztezi őket sem közút, sem vasút, így efféle akadályok nem lassítják a rajtuk haladó járműveket. Ennek ellenére időnként még auópályán is belefuthatunk ilyen-olyan akadályokba, például mert leesik, leszakad, kiszakad valami egy járműről, vagy felborul egy jármű, ezért a sofőrje nem tud vele félre húzódni az út szélére. A videón egy Tesla Model3 durrant bele egy felborult teherautóba.
Képzeljük el, hogy autópályán haladunk a legnagyobb megengedettnél kicsit nagyobb, \(\displaystyle 144\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel. Kicsit eltöprengünk vezetés közben az élet nagy dolgain, amikor egyszer csak észrevesszük, hogy 75 méterrel előttünk hever az úttesten egy több tonnás betontömb. A fékezés megindulásáig 1 másodperc telik el (ez a késlekedési idő, ami az emberi reakcióidőből és a fékrendszer késedelmi idejéből tevődik össze). Egy jó fékrendszer ideális körülmények között (száraz idő, érdes, pormentes aszfalt, új gumik) akár \(\displaystyle a=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) nagyságú lassulásra (a sebességgel ellentétes gyorsulásra) képes kényszeríteni egy személyautót.
a) Mennyi időnk van az akadály észrevételétől számítva, hogy megbánjuk bűneinket, és elhadarjuk a kocsiban ülő szeretteinknek utolsó szavainkat a betontömbbe csapódás előtt?
\(\Delta t=2\ \mathrm{s}\)
Először ábrázoljuk a mozgást sebesség-idő grafikonon:
Az első másodpercben még egyeneletesen haladunk a megengedett legnagyobb sebességgel, mint kezdősebességgel, amit átváltunk SI egységbe:
\[v_0=v_1=144\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{144}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ezalatt az első másodperc alatt megetett út:
\[s_1=v_1\cdot {\Delta t}_1\]
\[s_1=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 1\ \mathrm{s}\]
\[s_1=40\ \mathrm{m}\]
Mivel az útakadályt jelentő betontömb 75 méterrel előttünk van, ezért a lassuló szakaszra (trapéz terület) jutó maradék út:
\[s_2=75\ \mathrm{m}-s_1\]
\[s_2=75\ \mathrm{m}-40\ \mathrm{m}\]
\[s_2=35\ \mathrm{m}\]
Írjuk fel erre a második (lassuló) szakaszra az ide vonatkozó, kezdősebességes gyorsuló mozgás úttörvényét:
\[s=v_0\cdot {\Delta t}_2+\frac{1}{2}a\cdot {\left({\Delta t}_2\right)}^2\]
ahol a kezdősebességünk még mindig az eredeti sebesség:
\[v_0=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
a gyorsulás (lassulás) pedig:
\[a=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Beírva az adatokat:
\[35\ \mathrm{m}=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot {\Delta t}_2+\frac{1}{2}\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)\cdot {\left({\Delta t}_2\right)}^2\]
Mivel mindent SI egységben íertunk be, a mértékegységeket elhagyhatjuk:
\[35=40\cdot {\Delta t}_2-5\cdot {\left({\Delta t}_2\right)}^2\]
Ez egy másodfokú egyenelt a ${\Delta t}_2$ időtartamra. Rendezzük szokásos alakra:
\[5\cdot {\left({\Delta t}_2\right)}^2-40\cdot {\Delta t}_2+35=0\]
\[{\left({\Delta t}_2\right)}^2-8\cdot {\Delta t}_2+7=0\]
Ez másodfokú egyenlet $\Delta t$-re nézve, így a másodfokú megoldóképletével számítjuk ki. Két megoldást kapunk:
\[{\Delta t}_2=1\ \mathrm{s}\]
\[{\Delta t}_2=7\ \mathrm{s}\]
Miért van két megoldás? Miért nem csak egy, ahogy vártuk? Először gondoljunk bele a realitásokba. Ha $40\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$ sebességről lassulunk $-10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$ gyorsulással, akkor 4 másodperc alatt lelassulnánk le teljesen, álló helyzetre. Tehát a $\Delta t_2=7\ \mathrm{s}$ megoldásnak nincs fizikai szempontból értelme. De akkor mi a háttere, hogy ez is kijött?
Az egyenletünk úgy számol, mintha mindvégig lenne
\[a=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
gyorsulásunk, azaz még a megállás után is. Pedig a valóságban egy fékezés végén, amikor megáll egy autó, akkor nem indul el azonnal hátrafelé, az eddigi gyorsulását fenntartva. A $\Delta t_2=7\ \mathrm{s}$ megoldás azt a (hipotetikus) esetet mutatja, mintha az autó a megállás után is folytatná a gyorsuló mozgását, vagyis visszafelé indulva kezdene haladni, az eddigi
\[a=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
gyorsulását mindvégig fenntartva. Ebben a furcsa sztoriban 7 másodperc múlva újra eljutna az útakadály helyére.
De foglalkozzunk inkább a reális megoldással:
\[{\Delta t}_2=1\ \mathrm{s}\]
Tehát az akadály észlelésétől számítva a becsapódásig hátralévő (bűnbánatra fordítható) összes időnk:
\[\Delta t={\Delta t}_1+{\Delta t}_2\]
\[\Delta t=1\ \mathrm{s}+1\ \mathrm{s}\]
\[\Delta t=2\ \mathrm{s}\]
Nem sok, de van, hogy 2 másodperc is kínzóan hosszú.
b) Mekkora sebességgel érkezünk meg a megváltó halál torkába, a mozdulatlan betontömbhöz?
\(v=30\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=108\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
A lassuló szakasz ${\Delta t}_2=1\ \mathrm{s}$ időtartamából már könnyen kiszámíthatjuk a becsapódáskori sebességet. Mivel a lassulásunk
\[a=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
ez azt jelenti, hogy másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-mal csökken a sebességnagyság. Nekünk pont 1 másodperc telik el \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-ról kezdve a lassulást, így a becsapódáskori sebesség \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) lesz.
Kiszámíthatjuk egyenlettel is mindezt. Írjuk fel a kezdősebességes egyenletesen gyorsuló mozgás sebességének időfüggését:
\[v=v_0+a\cdot \Delta t\]
\[v=40\ \mathrm{\frac{m}{s}}+\left(-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)\cdot 1\ \mathrm{s}\]
\[v=30\ \mathrm{\frac{m}{s}}=30\cdot 3,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=108\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
c) Milyen messze kellett volna lennie a betontömbnek, hogy épp meg tudjunk állni?
\(s=120\ \mathrm{m}\)
Ebben az esetben a lassuló szakasz végére a sebességnek pont nullára kell csökkennie.
Mivel \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-ról kezdődött a lassulás, és másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-mal csökkent a sebesség, ezért 4 másodperces lassulásra lenne szükség.
Mekkora lenne így a lassuló szakaszban a megtett út? A rózsaszín terület pont a fele annak, mintha 4 másodpercen át \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-mal mentünk volna, vagyis:
\[s_2=\frac{40\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\cdot 4\ \mathrm{s}}{2}\]
\[s_2=80\ \mathrm{m}\]
De ez csak a lassuló szakasz, előtte az első 1 másodperc alatt további
\[s_1=40\ \mathrm{m}\]
utat tettünk meg, így a betontömbnek az észleléskor
\[s=s_1+s_2\]
\[s=40\ \mathrm{m}+80\ \mathrm{m}\]
\[s=120\ \mathrm{m}\]
távolságban kellett volna lennie.
Tanulság: ha gyorsan megyünk, hosszú útra van szükség, hogy meg tudjunk állni...