Hitman, a legendás bérgyilkos egy panelház ablakában figyel, keze 22 méter magasan van az alatta lévő járdához képest. A célszemény a járdán halad a Hitman ablaka alatt lévő járdaszakasz felé \(\displaystyle 3,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) állandó sebességgel.
a) Mekkora függőleges sebességgel kell eldobnia a súlylökő golyót, amikor a $2\ \mathrm{m}$ magas célszemély még 10 méterre van a járdán az alatta lévő helytől, hogy pont fejbe találja?
\(\displaystyle 48\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) nagyságú sebességgel felfelé
Először is, mikor ér Hitman alá a célszemély? A vízszintes sebességét ismerjük:
\[v_x=3,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=1\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
és azt is, hogy mennyi utat kell megtennie:
\[s_x=10\ \mathrm{m}\]
Ebből kiszámíthatjuk, hogy mennyi idő alatt ér a célszemély Hitman alá:
\[v=\frac{s}{\Delta t}\]
\[\Delta t=\frac{s}{v}\]
\[\Delta t=\frac{10\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}\]
\[\Delta t=10\ \mathrm{s}\]
Mekkora sebességgel kell ledobnia Hitman-nak a vasgolyót, hogy 10 másodperc múlva érjen a célszemély fejére? Mennyi utat is kell megtennie a vasgolyónak lefelé? 22 méter magasból indul, és 2 méter magas ember fejét kell eltalálnia, vagyis 20 méterrel kell lejjebb kerülnie. Gyanús lehet, hogy 20 méterről még ha csak elejti is, akkor is hamarabb fog 20 métert megtenni, mint 10 másodperc. De ha nem tűnt fel, akor azt mondjuk, hogy a vasgolyó egy kezdősebbességes, egyenletesen gyorsuló mozgést fog végezni, és 20 méter utat tesz meg. Ennek úttörvénye:
\[s=v_0\cdot t+\frac{a}{2}\cdot t^2\]
A bérgyilkos ledobja a vasgolyót, vagyis a kezdősebesség lefelé van, ahogy a nehézségi gyorsulás is. Emiatt célszerű lefelé vennünk a pozitív irányt. Az adatainkat beírva:
\[20\ \mathrm{m}=v_0\cdot 10\ \mathrm{s}+\frac{10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}}{2}\cdot {\left(10\ \mathrm{s}\right)}^2\]
Mivel minden SI egységben van, a mértékegységeket elhagyhatjuk:
\[20=v_0\cdot 10+\frac{10}{2}\cdot {\left(10\right)}^2\]
\[20=10\cdot v_0+500\]
\[-480=10\cdot v_0\]
\[v_0=-48\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
A negatív előjel azt jelenti, hogy felfelé kell eldobnia, hiszen anno lefelé vettük a pozitív irányt. Ez amiatt van, mert egy kezdősebesség nélkül elejtett test 2 másodperc alatt zuhan 20 métert, emiatt a "hosszú" 10 másodperces mozgáshoz a vasgolyónak először felfelé kell elindulnia.
b) Mekkora sebességgel fog becsapódni a vasgolyó a célszemély fejébe?
\(v=52\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
A sebességet a sebességfüggéssel tudjuk számolni:
\[v=v_0+a\cdot \left(\Delta t\right)\]
Ehhez mindent tudunk:
\[v_0=-48\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[a=g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[\Delta t=10\ \mathrm{s}\]
Beírva az adatokat mértékegység nélkül, hiszen SI egységben van minden:
\[v=v_0+a\cdot \left(\Delta t\right)\]
\[v=-48+10\cdot 10\]
\[v=-48+100\]
\[v=52\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]