Klasszikus fizikai megközelítéssel azt mondjuk, hogy a hidrogénatomban alapállapotban az elektron távolsága az atommagtól \(r_0=0,053\ \mathrm{nm}\) (ezt hívjuk Bohr-sugárnak), ahol a méter előtt lévő SI-prefixum: \(\mathrm{n}=\mathrm{nano}=10^{-9}\). A modellben az alapállapotú elektron \(\displaystyle v=2,18\cdot 10^6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebességel kering a mag körül ("kerületi" sebesség).
a) Mekkora az elektron centripetális gyorsulása?
\(\displaystyle a_{cp}=8,97\cdot 10^{22}\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
A centripetális gyorsulás:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\cdot \omega ^2=v\cdot \omega\]
Mivel mi a ("kerületi") sebességet és a körpálya sugarát ismerjük, így az első a legjobban használható:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}\]
Az adataink:
\(\displaystyle v=2,18\cdot 10^6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(r=0,053\ \mathrm{nm}=0,053\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}\)
Írjuk be SI-egységben az adatokat, így a mértékegységek elhagyhatók:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{\left(2,18\cdot 10^6\right)^2}{0,053\cdot 10^{-9}}\]
\[a_{\mathrm{cp}}=8,97\cdot 10^{22}\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
b) Mekkora az elektron szögsebessége?
\(\displaystyle \omega=4,11\cdot 10^{16}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\)
Körmozgás esetén:
\[v=r\cdot \omega\]
amiből a szögsebességet kirendezve:
\[\omega=\frac{v}{r}\]
Írjuk be az adatokat SI-egységben, így a mértékegységek elhagyhatók:
\[\omega=\frac{v}{r}\]
\[\omega=\frac{2,18\cdot 10^6}{0,053\cdot 10^{-9}}\]
\[\omega=4,11\cdot 10^{16}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
c) Mekkora az elektron keringési periódusideje?
\(T=1,53\cdot 10^{-16}\ \mathrm{s}\)
Induljunk ki a szögsebesség definíciójából:
\[\omega=\frac{\mathit{\Delta}\varphi}{\mathit{\Delta}t}\]
Vegyünk egy teljes periódust! Ezalatt a \(\mathit{\Delta}\varphi\) szögelfordulás a teljes szög, azaz
\[\mathit{\Delta}\varphi=2\pi\]
A teljes periódus alatt eltelt idő pedig maga a \(T\) periódusidő. Ezeket beírva:
\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]
Ebből a periódusidő:
\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]
Az előző kérdésben kapott szögsebességet SI-egységben beírva:
\[T=\frac{2\pi}{4,11\cdot 10^{16}}\]
\[T=1,53\cdot 10^{-16}\ \mathrm{s}\]
d) Mekkora az elektron fordulatszáma?
\(\displaystyle n=6,54\cdot 10^{15}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\)
Minden egyes fordulat során egy teljes szögnyi, azaz \(\mathit{\Delta}\varphi=2\pi\) szögelfordulás történik. Ha a fordulatszám \(n\), az azt jelenti, hogy másodpercenként \(n\) teljes fordulat történik, vagyis másodpercenként \(2\pi n\) a szögelfordulás mértéke, ami pedig nem más, mint az \(\omega\) szögsebesség:
\[\omega=2\pi n\]
Ebből a fordulatszám:
\[n=\frac{\omega}{2\pi}\]
Beírva a szögsebesség adatot SI-egységben:
\[n=\frac{4,11\cdot 10^{16}}{2\pi}\]
\[n=6,54\cdot 10^{15}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]