Három db különböző ellenállást sorosan kapcsoltunk \(U=24\ \mathrm{V}\) feszültségű áramforrásra. Az 1‑es ellenálláson jutó feszültség \(15\ \mathrm{V}\), a 2‑es ellenállás értéke \(6\ \Omega\). A 1‑es ellenállás 3‑szer akkora értékű, mint a 2‑es ellenállás. A 3‑as ellenálláson eső feszültség kereken 80%‑a a 2‑es ellenálláson eső feszültségnek. (A feladatot az eredő ellenállás fogalmának használata nélkül oldjuk meg!)
a) Mekkorák az egyes ellenállások?
1. Mekkorák az egyes ellenállások?
\(R_1=18\ \Omega\)
\(R_2=6\ \Omega\)
\(R_2=4,8\ \Omega\)
Soros kapcsolás esetén minden alkatrészen ugyanaz az áram, ezért ugyanakkora áram folyik át. Az Ohm‑törvény
\[I=\frac{U}{R}\]
alapján az egyes alkatrészeken eső feszültségek és áramok arányai azonosak (az arányszám pont az áramerősség).
\[I=\frac{U_1}{R_1}=\frac{U_2}{R_2}=\frac{U_3}{R_3}\]
Ez azt jelenti, hogy ha az egyik ellenálláson mondjuk 8‑szor akkora feszültség esik, mint a másikon, akkor az ellenállásának értéke is 8‑szor akkor, mint a másik ellenállása. És visszafelé logikával is igaz mindez: ha az egyik alkatrész ellenállásának értéke 5‑ször akkora, mint a másiké, akkor a rajta eső feszültség is 5‑ször akkora, mint a másikon eső.
Ez alapján mivel tudjuk, hogy 1‑es ellenállás 3‑szer akkora értékű, mint a 2‑es ellenállás, és azt is tudjuk, hogy a 2‑es ellenállás értéke $6\ \Omega$, ezek alapján az 1‑es ellenállás értéke 3‑szor nagyobb, mint a 2‑esé, vagyis
\[R_1=18\ \Omega\]
A 3‑as ellenállást ehhez hasonlóan határozzuk meg. Tudjuk, hogy a 3‑as ellenálláson eső feszültség kereken 80%‑a a 2‑es ellenálláson eső feszültségnek. Ez alapján a 3‑as ellenállás értéke is 80%‑a a 2‑es ellenállás értékének:
\[R_3=0,8\cdot R_2\]
Mivel a 2‑es ellenállást ismerjük, hogy az $6\ \Omega$, ezt beírhatjuk:
\[R_3=0,8\cdot 6\ \Omega\]
\[R_3=4,8\ \Omega\]
b) Mekkorák az egyes alkatrészeken eső feszültségek?
2. Mekkorák az egyes alkatrészeken eső feszültségek?
\(U_1=15\ \mathrm{V}\)
\(U_1=5\ \mathrm{V}\)
\(U_1=4\ \mathrm{V}\)
Soros kapcsolásnál ahányszor nagyobb az egyik ellenállás a másiknál, annyiszor nagyobb feszültség esik rajta.
Most már az ellenállások mindegyikét ismerjük, és tudjuk, hogy az 1‑esen eső feszültség $15\ \mathrm{V}$. Számítsuk ki a 2‑esen eső feszültséget! Tudjuk, hogy 1‑es ellenállás 3‑szer akkora értékű, mint a 2‑es ellenállás, ebből következik, hog a rajta eső feszültség is 3‑szor akkora:
\[U_1=15\ \mathrm{V}=3\cdot U_2\]
ebből:
\[U_2=5\ \mathrm{V}\]
A 3‑as alkatrészről azt tudjuk, hogy a 3‑as ellenálláson eső feszültség kereken 80%‑a a 2‑es ellenálláson eső feszültségnek, tehát
\[U_3=0,8\cdot U_2\]
és most már tudjuk, hogy
\[U_2=5\ \mathrm{V}\]
ezek alapján
\[U_3=0,8\cdot U_2=0,8\cdot 5\ \mathrm{V}=4\ \mathrm{V}\]
Természetesen a 3‑ason eső feszültséget úgy is meghatározhattuk volna, hogy ha az 1‑esen és a 2‑esen összese $20\ \mathrm{V}$ esik, akkor a hármójukra kapcsolr $24\ \mathrm{V}$‑ból a 3‑asra mindenképpen $4\ \mathrm{V}$ marad.
c) Mekkora áram folyik az egyes alkatrészeken?
3. Mekkora áram folyik az egyes alkatrészeken?
\(I_1=I_2=I_3=0,833\ \mathrm{A}\)
Soros kapcsolásnál az áramok azonosak, így elég az egyik alkatrész áramát kiszámolni, a másik kettőn biztosan ugyanekkora fog átfolyni.
Az Ohm-törvény szerint:
\[I=\frac{U}{R}\]
Ezt bármelyikre felírva, mondjuk az 1‑esre:
\[I_1=\frac{U_1}{R_1}=\frac{15\ \mathrm{V}}{18\ \Omega}=0,833\ \mathrm{A}\]
A másik kettőn pedig biztosan ugyanez az áram folyik át.