a)  Mekkora lejtőirányú gyorsulással mozognak az emberek a vizes csúszda \(\alpha=20^\circ \) vízszintessel bezárt hajlászögű szakaszon, ha súrlódásmentesnek vesszük a vizes csúszdát, és a légellenállást is elhanyagoljuk?

\(a_{\parallel }=3,42\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)

Készítsünk ábrát, és jelöljük a lecsúszó emberre ható erőket!

Az \(m\cdot g\) nehézségi erő mindenképpen hat, méghozzá biztosan lefelé. A lejtő által a testre kifejtett erőről onnan tudjuk biztosan, hogy ő a lejtőre merőleges irányú, mert a környezet által a testre kifejtett erőnek (pontosabban az érintkezési pontokban ébredő sok kicsike "kényszererő" összegének) az érintkező felülettel párhuzamos irányú összetevőjét definíció szerint súrlódási erőnek hívjuk, de a feladat szerint a súrlódás elhanyagolható. Ezért a lejtő által a testre kifejtett erő teljesen merőleges kell legyen a lejtőre.

Mivel az emberünk a lejtő irányába fog mozogni, ez azzal jár, hogy az $x$ vízszintes tengely irányába is fog mozogni, és az $y$ függőlegesen tengely irányába is. Ezért a szokásos $x \thinspace\unicode{x2013}\thinspace y$ (vízszintes-függőleges) tengelyekkel rendelkező koordinátarendszerben leírva a mozgását az viszonylag bonyolult lenne, mert mindkét tengely mentén kellene erőket, gyorsulást vizsgálnunk. Ehelyett érdemesebb egy olyan vonatkoztatási rendszert választanunk, amelyben leírva a test mozgása egyszerűbb lesz, mert ott csak az egyik koordinátatengely mentén mozog. Ha a vonatkoztatási rendszerünk tengelyeit a lejtővel párhuzamosan lefelé illetve a lejtőre merőleges irányba választjuk, akkor a test csak az egyik tengely mentén (a lejtővel párhuzamos tengely mentén) fog mozogni. Jelöljük a lejtővel párhuzamos tengelyt \(~\parallel \) szimbólummal, a lejtőre merőleges t pedig \(~\bot \) szimbólummal:

Ebben a "lejtővel párhuzamos - lejtőre merőleges" vonatkoztatási rendszerben a testre ható erőkről azt tudjuk mondani, hogy az \(F_{ny}\) nyomóerő teljes egészében merőleges a lejtőre, az \(m\cdot g\) viszont se nem párhuzamos, se nem merőleges irányú. Ezért őt fel kell bontanunk a vonatkoztatási rendszerünk szerinti összetevőkre:

Hogyan függenek az \( m\cdot g\) párhuzamos és merőleges komponensei a lejtő \(\alpha \) hajlásszögétől? Ehhez keressünk az \(m\cdot g\) környékén egy \(\alpha\) szöget:

Most már van egy kis derékszögű háromszögünk, aminek oldalai az \(m\cdot g\), az \(m\cdot g_{\parallel }\) és az \(m\cdot g_{\bot }\), ami azért jó, mert így szinusz-koszinusszal kifejezhetjük egymásból őket:

\[m\cdot g_{\parallel }=m\cdot g\cdot {\sin  \alpha }\]

\[m\cdot g_{\parallel }=m\cdot g\cdot {\sin  20{}^\circ }\]

\[m\cdot g_{\parallel }=m\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 0,342\]

\[m\cdot g_{\parallel }=m\cdot 3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Írjuk fel a dinamika alapegyeneletét a lejtővel párhuzamos irányra:

\[\mathit{\Sigma}F_{\parallel}=m\cdot a_{\parallel }\]

A lejtővel párhuzamos irányba egyetlen erő hat az emberünkre, a nehézségi erő \(m\cdot g_{\parallel }\) komponense:

\[m\cdot g_{\parallel }=m\cdot a_{\parallel }\]

amit pedig az imént kiszámoltunk, így most be tudjuk írni:

\[m\cdot 3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=m\cdot a_{\parallel }\]

Az $m$ tömeggel egyszerűsíthetünk, vagyis a megoldás nem függ a lecsúszó test tömegétől:

\[a_{\parallel }=3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Általában azt mondhatjuk, hogy a súrlódásmentes lejtőn lecsúszó test gyorsulása csak a $g$ nehézségi gyorsulástól és a lejtő hajlásszögétől függ:

\[a_{\parallel }=g\cdot {\sin  \alpha }\]

b)  Mennyi idő alatt érné el a $40\ \mathrm{mph}$ sebességet az álló helyzetből induló ember a $20º$-os lejtőn? (Továbbra is elhanyagoljuk a súrlódást és a légellenállást.)

\(\Delta t=5,23\ \mathrm{s}\)

A sebesség időfüggése általában:

\[v=v_0+\Delta v\]

Mivel a testünk gyorsulása állandó, ezért a sebességváltozása a gyorsulás definíciójából kifejezhető:

\[a=\frac {\Delta v}{\Delta t}\]

\[\Delta v=a\cdot \Delta t\]

Ennek segítségével a későbbi sebesség így írható:

\[v=v_0+a\cdot \Delta t\]

Tudjuk, hogy a \(v_0\) kezdősebesség nulla, és tudjuk a testünk lejtőirányú gyorsulását:

\[a_{\parallel }=3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Ezek felhasználásával:

\[v=3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \Delta t\]

Mi pedig azt a pillanatot keressük, amikor

\[v=40\ \mathrm{mph}\]

\[v=40\ \mathrm{\frac{mile}{hour}}\]

\[v=40\cdot \frac{1,609\ \mathrm{km}}{\mathrm{h}}\]

\[v=64,36\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

Váltsuk át ezt \(\mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) egységbe:

\[v=\frac {64,36}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

\[v=17,88\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Írjuk be ezt is:

\[17,88\ \mathrm{\frac{m}{s}}=3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \Delta t\]

\[\Delta t=5,23\ \mathrm{s}\]

Tehát \(5,36\) másodperc alatt elérné a \(40\ \mathrm{mph}\) sebességet.

c)  Hány méter megtétele alatt érné el a $40\ \mathrm{mph}$ sebességet az álló helyzetből induló ember a $20º$-os lejtőn? (Továbbra is elhanyagoljuk a súrlódást és a légellenállást.)

\(s_{\parallel }=46,77\ \mathrm{m}\)

A megtett út kiszámításához használjuk az egyenletesen gyorsuló mozgásra érvényes x‑t helykoordináta‑idő egyenletet:

\[s_{\parallel }=v_0\cdot \Delta t+\frac {1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Mivel a $v_0$ kezdősebesség nulla, ezért az egyenlet most egyszerűbb:

\[s_{\parallel }=\frac {1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Most már tudjuk nemcsak a lejtő irányú gyorsulást, hanem az eltelt időt is, írjuk be ezeket:

\[s_{\parallel }=\frac {1}{2}\cdot 3,42\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(5,23\ \mathrm{s}\right)}^2\]

\[s_{\parallel }=46,77\ \mathrm{m}\]

Tehát $46,77$ méter út megtétele után érné el a \(40\ \mathrm{mph}\) sebességet.

d)  Mekkora szintkülönbség szükséges ennek az fent kiszámolt útnak a megtételéhez?

\(h=15,996\ \mathrm{m}\)

Készítsünk ábrát:

Ezek szerint a $h$ szintkülönbség a $20^\circ $-os hegyeszöggel szemközti befogó, ezért úgy számolható, hogy az átfogót megszorozzuk a hegyesszög szinuszával:

\[h=s_{\parallel }\cdot {\sin  20{}^\circ }\]

\[h=46,77\ \mathrm{m}\cdot 0,342\]

\[h=15,996\ \mathrm{m}\]