a)  Mi lesz a termikus egyensúly beállta után (víz vagy jég, milyen hőmérsékletű, vagy pedig mindkettő, akkor meg milyen arányban), ha a jégkockák össztömege \(2\ \mathrm{dkg}\), és hőmérsékletük a háztartási fagyasztókra jellemző \(-18\ \mathrm{{}^\circ C}\)? (Az egyszerűség kedvéért a környezettel való hőcserét vegyük nullának, mintha a pohár tökéletes hőszigetelő lenne.)  A víz fajhője \(c_{\mathrm{v}}=4200\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\), a jég fajhője \(c_{\mathrm{j}}=2100\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\), a jég olvadáshője \(L_{\mathrm{o}}=340\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg}}\).

Végül $5,46\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletű víz lesz.

Mivel nem tudjuk, hogy mi lesz a végén (a termikus egyensúly beálltakor), ezért el kell kezdenünk számolgatni, hogy mennyi hőt adna le a víz, ha a kezdeti \(15\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletről $0\ \mathrm{{}^\circ C}$-ra hűlne le, és mennyi hő kellene ahhoz, hogy a jég felmelegedjen a kezdeti \(-18\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletről \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\), illetve meg is olvadjon az egész. A számokat összehasponlítva fogjuk tudni megmondani, hogy mi lesz végül.

Számítsuk ki a víz lehűlésekor felszabaduló hő:

$$Q_{\mathrm{víz\ le}}=c_{\mathrm{v}}\cdot m_{\mathrm{v}}\cdot \Delta T_{\mathrm{v}}$$

A hőmérséklet-változás lehűléskor mindig negatív, így a hőmennyiség is negatív, ami a rendszerközpontú konvencióból ered, és azt jelenti, hogy a rendszer hőt ad le. De most mi a hőmennyiségek nagyságait hasonlítjuk össze, így nincs jelentősége az előjelnek. Az adatok:

$c_{\mathrm{v}}=4200\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}$

$m_{\mathrm{v}}=0,2\ \mathrm{kg}$

$\Delta T=15\ \mathrm{{}^\circ C}$

Írjuk be az adatainkat, mindent SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával:

$$Q_{\mathrm{víz\ le}}=c_{\mathrm{v}}\cdot m_{\mathrm{v}}\cdot \Delta T_{\mathrm{v}}$$

$$Q_{\mathrm{víz\ le}}=4200\cdot 0,2\cdot 15$$

$$Q_{\mathrm{víz\ le}}=12\ 600\ \mathrm{J}$$

Számítsuk ki a jég felmelegítéséhez szükséges hőmennyiséget:

$$Q_{\mathrm{jég\ fel}}=c_{\mathrm{j}}\cdot m_{\mathrm{j}}\cdot \Delta T_{\mathrm{j}}$$

Ehhez az adataink:

$c_{\mathrm{j}}=2100\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}$

$m_{\mathrm{j}}=2\ \mathrm{dkg}=0,02\ \mathrm{kg}$

$\Delta T=18\ \mathrm{{}^\circ C}$

Írjuk be az adatainkat, mindent SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával:

$$Q_{\mathrm{jég\ fel}}=c_{\mathrm{j}}\cdot m_{\mathrm{j}}\cdot \Delta T_{\mathrm{j}}$$

$$Q_{\mathrm{jég\ fel}}=2100\cdot 0,02\cdot 18$$

$$Q_{\mathrm{jég\ fel}}=756\ \mathrm{J}$$

Számítsuk ki az összes jég megolvasztásához szükséges hőt:

$$Q_{\mathrm{jég\ olv}}=L_{\mathrm{o}}\cdot m_{\mathrm{j}}$$

A jég olvadáshője:

$L_{\mathrm{o}}=340\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg}}=340\ 000\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg}}$

Írjuk be az adatainkat, mindent SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával:

$$Q_{\mathrm{jég\ olv}}=L_{\mathrm{o}}\cdot m_{\mathrm{j}}$$

$$Q_{\mathrm{jég\ olv}}=340\ 000\cdot 0,02$$

$$Q_{\mathrm{jég\ olv}}=6800\ \mathrm{J}$$

Tehát a jég felmelegítéséhez és megoldvasztásához $756\ \mathrm{J}+6800\ \mathrm{J}=7556\ \mathrm{J}$ energia kell, míg a víz nulla fokra hűlése ennél többet szabadítana fel, konkrétan $12\ 600\ \mathrm{J}$-t. A különbség:

$$12\ 600\ \mathrm{J}-7556\ \mathrm{J}=5044\ \mathrm{J}$$

Innen úgy léphetünk tovább, hogy azt képzeljük, mintha a jég teljesen megolvadt, a víz pedig lehűlt volna $0\ \mathrm{{}^\circ C}$-ra, és a "megmaradt" $5044\ \mathrm{J}$ hő az összes, immár $0,22\ \mathrm{kg}$ vizet melegtené fel (hiszen volt $2\ \mathrm{dl}$ vizünk, és $2\ \mathrm{dkg}$ jegünk). Számítsuk ki, hogy ez mekkora hőmérséklet-emelkedést tud adni:

$$Q_{\mathrm{össz\ víz\ fel}}=c_{\mathrm{v}}\cdot m_{\mathrm{össz\ v}}\cdot \Delta T_{\mathrm{2}}$$

Az adatainkat beírva:

$$Q_{\mathrm{össz\ víz\ fel}}=4200\cdot 0,22\cdot \Delta T_{\mathrm{2}}$$

$$5044=924\cdot \Delta T_{\mathrm{2}}$$

$$\Delta T_{\mathrm{2}}=5,46\ \mathrm{{}^\circ C}$$

Mivel ez a folyamat $0\ \mathrm{{}^\circ C}$-ról indult, ezért a végső hőmérséklet $5,46\ \mathrm{{}^\circ C}$ lesz.

b)  Ha a jégkockákat a -$18\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os fagyasztóból vesszük ki, akkor legalább hány gramm jeget kell beledobnunk a pohár vízbe, hogy az egész jéggé fagyjon? (A környezettel való hőcserét hanyagoljuk el!)

$2132\ \mathrm{g}$

Ha a legkevesebb jég esetét akarjuk kiszámolni, akkor a jégnek egészen \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletig kell felmelegednie. Legyenek a jövetkező jelölések:

\(m_j\) a jég (ismeretlen) tömege

\(m_v=0,2\ \mathrm{kg}\) a víz tömege

\(c_v=4200\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\) a víz fajhője

\(c_j=2100\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\) a jég fajhője

\(L_o=340\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg}}\) a víz olvadáshője

\(T_1^v=15\ \mathrm{{}^\circ C}\) a víz hőmérséklete kezdetben

\(T_2^v=0\ \mathrm{{}^\circ C}\) a víz hőmérséklete a végén

\(T_1^j=-18\ \mathrm{{}^\circ C}\) a jég hőmérséklete kezdetben

\(T_2^j=0\ \mathrm{{}^\circ C}\) a jég hőmérséklete a végén

Induljunk ki abból, hogy a környezettel való hőcserét elhanyagoljuk! Ez azt jelenti, hogy ha a rendszerünk a jégből és a vízből áll, akkor a \(Q\) hőátadások előjeles összege nulla, hiszen az energia nem veszhet el és nem születhet, így a leadott hők és a felvett hők előjeles összege nullát kell adjon:

\[\Sigma Q=0\]

Vegyük számba, milyen hőleadások, hőfelvételek! Egyrészt a kezdeti \(15\ {}^\circ C\) hőmérsékletű víz hőt ad le, míg lehűl \(0\ {}^\circ C\) hőmérsékletre:

\[Q_1=c_v\cdot m_v\cdot \Delta T_v\]

\[Q_1=c_v\cdot m_v\cdot \left(T_2^v-T_1^v\right)\]

\[Q_1=4200\cdot 0,2\cdot \left(0-15\right)\]

\[Q_1=-12\ 600\ \mathrm{J}\]

Másrészt ez a lehűlt víz további hőt ad le, miközben \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os vízből \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os jéggé fagy meg:

\[Q_2=L_o\cdot m_v\]

\[Q_2=-340\ \mathrm{\frac{kJ}{kg}}\cdot 0,2\ \mathrm{kg}\]

\[Q_2=-340\ 000\ \mathrm{\frac{J}{kg}}\cdot 0,2\ \mathrm{kg}\]

\[Q_2=-68\ 000\ \mathrm{J}\]

A mínusz előjel amiatt van, mert a \(Q\) hőközlés egy energiaváltozás, márpedig az ún. "rendszerközpontú konvenció" értelmében az a hőmennyiség pozitív, ami a rendszer számára pozitív energiaváltozással jár; tehát a hőfelvétel pozitív, a hőleadás negatív előjelű kell legyen.

Harmadrészt a \(-18\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os jég hőt vesz fel, miközben felmelegszik \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os jég állapotba (nem olvad meg, hszen a végén csak jeget kapunk.

\[Q_3=c_j\cdot m_j\cdot \Delta T_j\]

\[Q_3=c_j\cdot m_j\cdot \left(T_2^j-T_1^j\right)\]

\[Q_3=2100\cdot m_j\cdot \left(0-\left(-18\right)\right)\]

\[Q_3=2100\cdot m_j\cdot \left(0+18\right)\]

\[Q_3=2100\cdot m_j\cdot 18\]

\[Q_3=37\ 800\cdot m_j\]

Írjuk be ezeket mind a

\[\Sigma Q=0\]

egyenletbe:

\[Q_1+Q_2+Q_3=0\]

\[-12\ 600\ \mathrm{J}+\left(-68\ 000\ \mathrm{J}\right)+37\ 800\cdot m_j=0\]

\[37\ 800\cdot m_j=80\ 600\ \mathrm{J}\]

\[m_j=2,132\ \mathrm{kg}=2132\ \mathrm{g}\]

c)  Ha egy $5\ \mathrm{dkg}$‑os a jégkockánk van, akkor ez hány $\mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletű kell legyen, hogy már az egész vizet megfagyassza?

Ez nem lehetséges.

A hőközlések összege most is

\[\Sigma Q=0\]

csupán annyi a változás, hogy most tudjuk a jég kezdeti \(m_j\) tömegét, ami

\[m_j=5\ \mathrm{dkg}=0,05\ \mathrm{kg}\]

viszont nem tudjuk a jég kezdeti \(T_1^j\) hőmérsékletét, vagyis most ez lesz az ismeretlen. Az egyenletünk tehát:

\[Q_1+Q_2+Q_3=0\]

\[c_v\cdot m_v\cdot \Delta T_v+L_f\cdot m_v+c_j\cdot m_j\cdot \Delta T_j=0\]

\[c_v\cdot m_v\cdot \left(T_2^v-T_1^v\right)+L_f\cdot m_v+c_j\cdot m_j\cdot \left(T_2^j-T_1^j\right)=0\]

\[4200\cdot 0,2\cdot \left(0-15\right)+\left(-334\ 000\right)\cdot 0,2+2100\cdot 0,05\cdot \left(0-T_1^j\right)=0\]

\[-12\ 600+\left(-68\ 000\right)+105\cdot \left(0-T_1^j\right)=0\]

\[-80\ 600+105\cdot \left(-T_1^j\right)=0\]

\[105\cdot \left(-T_1^j\right)=80\ 600\]

\[-T_1^j=767,6\]

\[T_1^j=-767,6\ \mathrm{{}^\circ C}\]

ami visztont nem lehetséges, mivel az abszolút nulla hőmérséklet \(-273,15\ \mathrm{{}^\circ C}\).