A rally versenyeken az autók időnként elemelkednek az úttól.
a) Egy \(2,5\) tonnás SUV (sport utility vehicle, szó szerint sportcélú haszongépjármű, magyarosan "városi terepjáró") egy olyan bukkanó tetején halad, pontosabban vánszorog \(v=30\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\) sebességgel, amely bukkanó egy \(40\) méter sugarú, függőleges síkú körív. A tapadási súrlódási együttható \(\mu_t=0,7\) értékű. Mekkora - felületre merőleges - nyomóerővel nyomja az autó az úttestet?
\(F_{\mathrm{ny}}=-20\ 675\ \mathrm{N}\)
Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be az autóra ható erőket:
Az \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerő valójában az autó kerekeire hat, így mindegyik kerékhez kellene rajzolnunk egy-egy nyomóerőt, de az egyszerűség kedvéért most csak egy "közös" nyomóerőt tüntettünk fel az ábrán.
Az autó körmozgást vlégez, így biztosan van centripetális gyorsulása. Vizsgáljuk a centripetális irányú, vagyis az autótól a körpálya középpontja felé mutató, tehát függőleges eseményeket! Válasszunk ezen egyenes mentén egy pozitív irányt, legyen mondjuk lefelé! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét ezen irány mentén:
\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Centripetális irányú erőből kettő van:
- az ismert \(mg\) nehézségi erő (amit az ismert iránynak megfelelő előjellel kell beírnunk a szummába)
- valamint az ismeretlen \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerő
Az egyenletbe beírva:
\[mg+F_{\mathrm{ny}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
A centripetális gyorsulás:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}\]
A sebességet először át kell váltanunk SI-egységbe:
\[v=30\ \mathrm{\frac{km}{h}}=8,33\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ezt, és az \(r=40\ \mathrm{m}\) adatot beírva:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{8,33^2}{40}\]
\[a_{\mathrm{cp}}=1,73\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Ezt, valamint az autó 2,5 tonnás tömegét \(m=2500\ \mathrm{kg}\) formában beírva a dinamikai egyenletbe:
\[2500\cdot 10+F_{\mathrm{ny}}=2500\cdot 1,73\]
A \(g\) nehézségi gyorsulást amiatt pozitív előjellel írtuk be, mert hogy ő lefelé irányuló, mint a választott pozitív irányunk.
\[25\ 000+F_{\mathrm{ny}}=4325\]
\[F_{\mathrm{ny}}=-20\ 675\ \mathrm{N}\]
A negatív előjel azt jelenti, hogy a nyomóerő az általunk lefelé választott pozitív iránnyal ellentétes, vagyis felfelé mutat. Ilyen irányú erőt az úttest képes is kifejteni az autóra, úgyhogy bódottá van.
b) Mekkora sebességgel haladjon a SUV a $40$ méter sugarú domb tetején, hogy a kerekei (összesen) fele akkora erővel nyomják az utat, mint álló helyzetben?
\(v=14,14\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=50,91\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
Rajzoljuk be megint az erőket, tudva, hogy most az úttest által az autóra kifejtett nyomóerő fele az autó súlyának, ami az autóra ható \(mg\) nehézségi erővel megegyező nagyságú:
Írjuk fel most is a dinamika alapegyenletét, megint függőlegesen lefelé véve a pozitív irányt:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
\[mg-F_{ny}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Az úttest által a kocsi kerekeire kifejtett nyomóerő amiatt kapott negatív előjelet, mert tudjuk, hogy ő felfelé mutat (a választott pozitív irányunkkal ellentétesen). Írjuk be azt is, hogy a nyomóerő fele akkora, mint az autó súlya:
\[mg-\frac{m\cdot g}{2}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Ezen a ponton máris megragadjuk az alkalmat, és az \(m\) tömeggel egyszerűsítünk:
\[g-\frac{g}{2}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
A bal oldalon alkalmazzuk az "egy krumpliból kivonva fél krumplit, az fél krumpli" ősi törvényszerűségét:
\[\frac{g}{2}=a_{\mathrm{cp}}\]
A centripetális gyorsulás képletét felhasználva:
\[\frac{g}{2}=\frac{v^2}{r}\]
Ebből ismerjük, hogy:
\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[r=40\ \mathrm{m}\]
Írjuk be az ismert adatainkat, mindent SI-egységben:
\[5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=\frac{v^2}{40\ \mathrm{m}}\]
\[v^2=200\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v=14,14\ \mathrm{\frac{m}{s}}=50,91\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
c) Mekkora sebességgel kell mennie a $2,5$ tonnás SUV-nak ugyanezen bukkanón, hogy annak legfelső pontján épp semennyire se nyomja az úttestet?
\(v=20\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=72\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
Készítsünk ábrát az erőkről, figyelembe véve, hogy most az úttest már nem fejt ki nyomóerőt az autóra, vagyis (a légellenállást leszámítva) az autóra most csak az \(mg\) nehézségi erő fog hatni:
Az autó most is körmozgást végez, így van neki centripetális gyorsulása,, amit jelenleg a nehézségi erő egyedül, egymaga fog biztosítani:
Írjuk fel megint a dinamika alapegyenletét centripetális irányra:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Az egyetlen erőt beírva:
\[mg=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
A tömeg máris kiesik:
\[g=a_{\mathrm{cp}}\]
Beírva a centripetális gyorsulásra vonatkozó összfüggést:
\[g=\frac{v^2}{r}\]
Ebből ismerjük, hogy:
\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[r=40\ \mathrm{m}\]
Írjuk be az adatainkat:
\[10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=\frac{v^2}{40\ \mathrm{m}}\]
\[v^2=400\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v=20\ \mathrm{\frac{m}{s}}=72\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
d) Mekkora sugarú, kör alakú domb legfelső pontján haladhatunk át \(\displaystyle 90\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel, hogy még épp a határán legyünk, hogy emelkedik-e az úttesstől az előző a SUV?
\(r=62,5\ \mathrm{m}\)
Pont ugyanaz a helyzet, mint előbb: a nehézségi erő egymaga okozza a centripetális gyorsulást, csak most nem a sebesség az ismeretlen és a körpálya sugara az ismert, hanem fordítva.
Ezért ugyanazt az egyenletet írhatjuk fel a függőlegesen lefelé mutató, centripetális irányra nézve:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
\[mg=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
\[g=a_{cp}\]
\[g=\frac{v^2}{r}\]
Az ismert adataink:
\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[v=90\ \mathrm{\frac{km}{h}}=25\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Beírva az adatainkat:
\[g=\frac{v^2}{r}\]
\[10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=\frac{{\left(25\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\right)}^2}{r}\]
\[10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=\frac{625\ \mathrm{\displaystyle \frac{m^2}{s^2}}}{r}\]
\[r=62,5\ \mathrm{m}\]