Az amerikai Hot Wheels nevű, játék kisautókat gyártó vállalat (brandépítés céljából) szokott rendezni autós showkat, ahol igazi személyautókkal is bemutatják, amit a kis játékautóikkal a lakásban is lehet játszani: végigsuhanni egy függőleges síkú hurokpályán. A képen látható esetben a kör \(60\ \mathrm{láb}\) átmérőjű volt \((1\ \mathrm{foot}=30,48\ \mathrm{cm})\). Videón itt nézhető meg a mutatvány.
a) Képzeljük el, hogy egy hurokpályán körbe‑körbe megy az autó! Mekkora, a pályára merőleges nyomóerőt fejt ki a másfél tonnás autó az útfelületre a hurok legalsó pontjában, ha a sebessége \(52\ \mathrm{mph}\)? Az \(\mathrm{mph}\) mértékegység a \(\mathrm{mile\ per\ hour}\) kifejezés mozaikszava, azaz mérföld per órát jelent; \(1\ \mathrm{mile}=1,609\ \mathrm{km}\).
\(F=103\ 599\ \mathrm{N}\)
A feladat azt, a pályára merőleges nyomóerőt kérdezi, amivel az autó nyomja az útfelületet. Az autó mozgásának tanulmányozásában ez az erő nem szerepel, hiszen ez nem az autóra hat. Viszont az autóra ható erők között ott van ennek ellenereje: amivel az útfelület ("vissza")nyom. Newton III. törvénye értelmében ezez két erő azonos nagyságú, így elég az egyiket kiszámolnunk, és a másik ugyanekora. Ezért mi az autóra ható erőt számítjuk ki, mert az autóra vannak adataink, így rá fogjuk felírni a mozgásegyenletet.
Az autó körpályán mozog, emiatt biztosan van neki
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}\]
nagyságú, a körpályája középpontja felé irányuló centripetális gyorsulása. Ez most felfelé van, hiszen az autó a körpályája alján jár.
A változatosság (és a gyakorlás) kedvéért most a felfelé mutató irányt vesszük pozitívnak.
Ennek a centripetális gyorsulásnak a biztosításához ezért a normális irányban egy felfelé irányuló eredő, centripetális erő szükséges:
\[F_{cp}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Valakiknek ezt kell "összedobniuk". A nehézségi erő biztosan lefelé hat, vagyis a centripetális erő szükséglettel ellentétes irányú, így az lehetetlen, hogy egy másik, szintén lefelé irányuló erővel együtt adják össze a felfelé mutató centripetális erőt.
Tehát a kényszererő most biztosan felfelé fog hatni.
Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a normális irányra:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
Tehát az autóra ható erők: az $m\cdot g$ nehézségi erő, és az ismeretlen nagyságú $F$ kényszererő (mit az előbb végig gondoltunk, hogy ő felfelé irányuló, de semmi bajt nem okoz, ha nem gondoljuk végig az irányát: a levezetésbe úgyis ismeretlenként kell szerepelnie, és úgyis kiadódik majd, hogy milyen irányú).
\[m\cdot g+F=m\cdot a\]
A pilóta gyorsulása ebben a normális irányban a centripetális gyorsulás:
\[m\cdot g+F=m\cdot a_{cp}\]
Arról pedig tudjuk, hogy:
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}\]
A centripetális gyorsulásról tudjuk, hogy felfelé van (mivel a kör középpontja felé irányul, márpedig a centrum most felettünk van). A felfelé irány pozitívot jelent, hiszen felfelé vettük a pozitív irányt. Ezért a centripetális erő elé nem kell tennünk negatív előjelet:
\[m\cdot g+F=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Nézzük az erőket! A nehézségi erő lefelé hat, mert a nehézségi gyorsulás iránya lefelé van. Ezt a tényt úgy vesszük figyelembe, hogy a nehézségi erő kifejezésében a nehézségi gyorsulás negatív előjelű lesz:
\[g=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Az $F$ kényszererő (a pálya által az autóra kifejtett merőleges nyomóerő) ismeretlen, így neki nem kell előjelet adnunk, mert majd az egyenlet megoldása során kiadódik az előjele, ami megmutatja az irányát.
Nézzük, milyen adatokat tudunk még:
\[v=52\ \mathrm{mph}\]
\[v=52\ \mathrm{\frac{miles}{h}}\]
Írjuk be a mérföld helyére, hogy ő hány \(\mathrm{km}\)-rel azonos:
\[v=52\cdot \ \frac{1,609\ \mathrm{km}}{\mathrm{h}}\]
\[v=83,668\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Váltsuk át SI egységbe:
\[v=83,668\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{83,668}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=23,24\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
A körpálya sugara:
\[r=\frac{d}{2}=\frac{60\ \mathrm{láb}}{2}=30\ \mathrm{láb}\]
Írjuk be a láb helyére, hogy ő mennyi méter:
\[r=30\ \mathrm{láb}=30\cdot 0,3048\ \mathrm{m}=9,144\ \mathrm{m}\]
\[m=1500\ \mathrm{kg}\]
Írjunk be minden adatot az egyenletbe:
\[m\cdot g+F=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
\[1500\ \mathrm{kg}\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)+F=1500\ \mathrm{kg}\cdot \frac{{\left(23,24\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\right)}^2}{9,144\ \mathrm{m}}\]
\[-15.000\ \mathrm{N}+F=88.599\ \mathrm{N}\]
\[F=103.599\ \mathrm{N}\]
Azt kaptuk tehát, hogy az autóra a súlyánál 6,9‑szer nagyobb kényszererővel fog hatni a pálya felfelé.
b) Mekkora sebességgel kell haladnia a másfél tonnás autónak a hurok legtetején, hogy biztosan ne váljon le az épített ívről?
\(v\ge 9,56\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=34,4\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
Az autó körpályán mozog, ezért biztosan van neki centripetális (a körpálya centruma felé irányuló) gyorsulása, aminek nagysága
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}\]
és most ez függőlegesen lefelé irányú, hiszen a körpálya tetején van, így a centrum alatta található:
Ezt a centripetális gyorsulást, mint feladatot, funkciót több erő (vagy erőkomponens) együttesen is elláthatja, az ő összességük, eredőjük kell hogy kiadja a centripetális erőt:
\[F_{cp}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
A hurkon haladó autó esetén a centripetális erőt két erő, konkrétan a nehézségi erő centrum irányú komponense valamint a pálya által kifejtett merőleges nyomóerő "dobhatják össze". De mi most pont azt az esetet keressük, amikor épp elemelkedne a kocsi a pályától, vagyis amikor a pálya által kifejtett nyomóerő nullává válik. Ez azt jelenti, hogy a nehézségi erőnek pont akkorának kell lennie, hogy egymaga biztosítsa a centripetális erőt:
Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a normális (tehát a sebességre merőleges irányra, ami jelen esetben függőleges) irányra:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
Vegyük pozitívnak a centrum felé (lefelé) mutató irányt.
Tehát az autóra csak az $m\cdot g$ nehézségi erő hat:
\[m\cdot g=m\cdot a\]
Az autó gyorsulása ebben az irányban a centripetális gyorsulás:
\[m\cdot g=m\cdot a_{cp}\]
Arról pedig tudjuk, hogy:
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}\]
Ezt beírva:
\[m\cdot g=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Írjuk be az adatainkat! A nehézségi gyorsulás most pozitív előjelű, mert a nehézségi gyorsulás lefelé irányuló, vagyis azonos az általunk felvett pozitív iránnyal:
\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
A többi adatot az előző kérdés levezetéséből átvesszük:
\[r=9,144\ \mathrm{m}\]
\[m=1500\ \mathrm{kg}\]
\[m\cdot g=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
\[1500\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=1500\ \mathrm{kg}\cdot \frac{v^2}{9,144\ \mathrm{m}}\]
\[15\ 000\ \mathrm{N}=164\ \mathrm{\frac{kg}{m}}\cdot v^2\]
\[v^2=91,46\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v=9,56\ \mathrm{\frac{m}{s}}=34,4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle 34,4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességnél van a határ, hogy elválik-e az úttól. Vajon ennél nagyobb vagy kisebb sebességgel kell mennie, hogy ne váljon el a pályától? Ha kisebb sebességgel megy, akkor a körpályán tartáshoz szükséges centripetális erő
\[F_{cp}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
kisebb lesz, vagyis a nehézségi erő már "egymaga túlteljesíti". Úgy is mondhatjuk., hogy a nehézségi erő "túlságosan húzza lefelé" a kocsit, erősebben, mint ami ahhoz kellene, hogy a köríven haladjon. Ezért kisebb sebességnél a kocsi elhagyja a körpályát, leválik róla, és lepottyan. Ez összhangban van a játékautós tapasztalatainkkal: ha nem elég gyorsan lökjük meg a játékautót, akkor "nem fut végig", hanem lezuhan a körpályán haladva.
Ha az autó sebessége nagyobb az imént kiszámítottnál, akkor a centripetális erő nagyobb, mint a nehézségi erő. Vagyis a körpályán mozgáshoz valaki be kell még segítsen, egy további, centripetális, azaz lefelé irányuló erővel. Ezt az épített pálya úttestje el tudja látni (ha elég erős).
Végeredményben azt mondhatjuk, hogy ahhoz, hogy biztosan ne váljon le az ívről az autó, legalább a kiszámított sebességgel kell haladnia:
\[v\ge 9,56\ \mathrm{\frac{m}{s}}=34,4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
c) Mekkora, a pályára merőleges nyomóerőt fejt ki a másfél tonnás autó az útfelületre a hurok legfelső pontjában, ha ott fent is \(52\ \mathrm{mph}\) sebességgel haladna? (A hurkon elfelé menet ugyanis a nehézségi erő erősen lassítja az autót, ami lassulást a motorja segítségével vagy tud kompenzálni, vagy nem, de mi az egyszerűség kedvéért vegyük úgy, hogy mindvégig meg tudta tartani a sebessége nagyságát.)
\(F=73\ 599\ \mathrm{N}\)
Megint az autó által az útfelületre kifejtett erőt kérdezik, de mi ennek ellenerejét fogjuk kiszámolni (tehát a pálya által az autóra kifejtettet), mert ez ugyanakkora, mint a kérdéses (Newton III. törvénye miatt), viszont ez utóbbi szerepel az autó mozgásegyenletében, így tudunk vele számolni.
Az autó sebessége most
\[v=83,668\ \mathrm{\frac{km}{h}}=23,24\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az előző kérdésben kiszámítottuk, hogy akkor marad a köríven, ha
\[v\ge 9,56\ \mathrm{\frac{m}{s}}=34,4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Ezért azt mondhatjuk, hogy jelen esetben rajta lesz a köríven a felső pontban, a nehézségi erő nem lesz elég, hogy egymaga biztosítsa a szükséges centripetális erőt (mert az nagyobb nála), emiatt a pálya ki fog fejteni egy lefelé irányuló nyomóerő az autóra:
Írjuk fel a mozgásegyenletet:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
\[m\cdot g+F=m\cdot a_{cp}\]
\[m\cdot g+F=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Mind a nehézségi erő, mind a centripetális gyorsulás lefelé vannak, vagyis pozitív előjelűek lesznek, hiszen megegyezik az irányuk az általunk választott pozitív iránnyal. Írjuk be az adatainkat:
\[1500\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}+F=1500\ \mathrm{kg}\cdot \frac{{\left(23,24\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\right)}^2}{9,144\ \mathrm{m}}\]
\[15\ 000\ \mathrm{N}+F=88\ 599\ \mathrm{N}\]
\[F=73\ 599\ \mathrm{N}\]
Tehát az autó és a pálya \(73\ 599\ \mathrm{N}\) nagyságú, a sebességre merőleges erővel nyomják egymást.
d) Mekkora, a pályára merőleges nyomóerővel hatna a másfél tonnás autó az útfelületre amikor középmagasságban pont függőlegesen lefelé illetve fölfelé haladna, szintén \(52\ \mathrm{mph}\) állandó nagyságú sebességgel? Kifejt-e az autó a pályára érintő irányú erőt, ha igen, mekkorát?
\(F=88\ 598\ \mathrm{N}\)
Megint az autó által a pályára kifejtett erőt kérdezik, de most is ehelyett ennek ellenerejét fogjuk kiszámolni, az előbbiekben részletezett okoból.
Az autó most függőlegesen felfelé halad, a körpálya középpontja pedig tőle vízszintes irányban van. Ezért az autó (körmozgás miatti) centripetális gyorsulása is vízszintes irányú. Emiatt az általunk vizsgált irány, a normális irány most vízszintes. Vegyük megint a centrum felé mutatónak a pozitív irányt, mert ilyen irányú az autó centripetális gyorsulása:
A centripetális gyorsulás biztosításához valakinek vagy valakiknek centripetális irányú erőt kell kifejteni, ami szintén a centrum felé irányuló:
A nehézségi erő azonban függőleges, tehát ő semmilyen szerepet nem játszhat a centripetális erőben. Csak az útfelület jöhet szóba, az általa kifejtett erők közül is a merőleges nyomóerő. A pálya felülete kifejthet még a sebességgel párhuzamos (érintő irányú) erőt is (amit súrlódásnak nevezünk), de ez sem vehet részt a centripetális erő biztosításában, miven nem jó irányú hozzá. Arra jutottunk tehát, hogy egyedül a pálya által kifejtett, az úttestre merőleges nyomóerő jöhet szóba, mint aki ellátja a centripetális erő feladatát, vagyis egymagának kell pont akkorának lennie, amekkora az $F_{cp}$ erő.
Írjuk fel a mozgásegyenletet a normális irányra:
\[\mathit{\Sigma}F=m\cdot a\]
\[F=m\cdot a_{cp}\]
\[F=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Írjuk be az adatainkat, melyeket az előző kérdések levezetéseiből átveszünk:
\[r=9,144\ \mathrm{m}\]
\[m=1500\ \mathrm{kg}\]
\[v=23,24\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[F=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
\[F=1500\ \mathrm{kg}\cdot \frac{{\left(23,24\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\right)}^2}{9,144\ \mathrm{m}}\]
\[F=88\ 598\ \mathrm{N}\]
Érintő irányban a test gyorsulása nulla, hiszen érintő irányban \(a_{k}\) kerületi gyorsulás (más néven \(a_{\textit{é}}\) érintő; \(a_{tg}\) tangenciális gyorsulás) lehetne, de az nincs, mivel ez a sebesség nagyságának változási ütemét méri, viszont az autó állandó nagyságú sebességgel halad. Ez alapján érintő/kerületi irányba felírva a dinamika alapegyenletét:
\[\Sigma F_k=m\cdot a_k\]
az \(a_k=0\) miatt
\[\Sigma F_k=m\cdot 0\]
\[\Sigma F_k=0\]
Viszont az autóra hat kerületi irányban (konkrétan lefelé) \(mg\) nehézségi erő, ami egyedül nem adhat nullát. Vagyis kell lennie egy mási erőnek még, ami "kinullázza" a nehézségi erőt: ez csak egy \(mg\) nagyságú függőlegesen felfelé ható erő lehet. Ezt ki fejti ki, és milyen típusú? Gondoljunk bele, hogy ha az autó csak (a motorja dolgoztatása nélkül) gurulna felfelé a hurokíven, akkor a sebessége egyre csak csökkenne. Tehát ahhoz,. hogy a sebességét állandó nagyságú értéken tartsa (a nehézségi erő lassító hatása ellenében), ehhez a motorjának dolgoznia kell, forgatnia kell a kerekeket, a kerekeknek hatnia kell a pályára "hátrafelé" azaz lefelé tapadási súrlódási erővel, amine ellenerejeként a talaj fog felfelé hatni az autó kerekeire tapadási súrlódási erővel.