Ernst Hoffmeister német mérnök tervei alapján először az 1940‑es évek végén készült el Amerikában egy (azóta klasszikussá vált) vidámparki élményeszköz, a "rotor". Ez egy 6 méter belső átmérőjű, henger alakú "szoba", mely forgásba hozható, a közepén lévő, függőleges szimmetriatengelye körül. Amikor eléri a \(33\ \mathrm{RPM}\) fordulatszámot (ahol \(\mathrm{RPM=revolutions\ per\ minute}\) azaz percenkénti fordulatszámot jelent), akkor az emberek lába alatti, vízszintes körlap padlót lesüllyesztik. Az emberek azonban nem zuhannak le a mélybe, hanem a helyükön maradva forognak tovább "a falra tapadva". De minden jó dolog hamar véget ér, így pár perc élvezkedés után a fordulatszámot fokozatosan csökkentik, amitől az emberek egymás után lecsúsznak. A mai gépekről itt nézhetők videók.
a) Miért nem zuhannak le az emberek, amikor forgás közben kimegy alóluk a talaj lefelé?
Mert az ember és a fal között ébredő, felfelé irányuló tapadási erő kiegyenlíti az embert lehúzni próbáló \(mg\) nehézségi erőt.
Ha egy test körmozgást végez (ahogy a szobával együtt forog az ember), akkor mindenképpen van centripetális gyorsulása:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\cdot \omega ^2\]
mely a körpályája középpontja felé irányuló. Bármilyen gyorsuláshoz erőre van szükség, ezt a centripetális gyorsulást természetesen csak centripetális irányú erő okozhatja. Erre a feladatra teljesen alkalmas a fal által az emberre kifejtett nyomóerő, ami mindig vízszintesen, a körpálya középpontja felé hat az emberre. Ez a nyomóerő egy kényszererő, hiszen egy geometriai jellegű fényszerfeltételt teljesít, nevezetesen hogy az ember nem hatolhat át a henger alakú fal felületén. Ha a fal nem lenne képes a kényszerfeltételhez szükséges erőt kifejteni, akkor nem jönne létre a körmozgás: a z ember átszakadna a falon, és letérne a körpályáról.
De az emberre lefelé ható \(mg\) nehézségi erőt csak egy felfelé irányuló erő képes kioltani, a vízszintes nyomóerő nem. Vagyis a kényszererő nem tudja megakadályozni az ember lezuhanását. De akkor ki a felelős azért, hogy az ember nem esik le, amikor a padlót lesüllyesztik a forgás közben?
Az \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási súrlódási erő csak olyankor léphet fel, amikor az érintkező testek nemcsak hogy el akarnak egymáshoz képest mozdulni, de egymásnak is nyomódnak. Itt pont ez történik: a nehézségi erő próbálja az embert lefelé elmozdítani a falhoz képest, de mivel az ember és a fal egymást nyomják, ezért fellép a tapadási erő, hogy megakadályozza az egymáshoz képesti elmozdulást. A tapadási erő erőtörvénye:
\[F_{\mathrm{t}}\ge F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]
amiből látható, hogy ha nincs nyomóerő, akkor a tapadási erő maximuma nulla.
Mivel az ember mozgását csak az emberre ható erők befolyásolják, ezért az emberre ható erőket mind pirossal jelöltük. A kék színű \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerő az emberre ható piros \(F_{\mathrm{ny}}\) erő-ellenerő párja, vagyis vele azonos nagyságú de ellentétes irányú, de az ember mozgása szempontjából lényegtelen, mert nem az emberre hat, hanem az ember fejti ki a forgó szerkezet falára.
b) Mekkora körülbelül az emberek centripetális gyorsulása? Hányszorosa ez a \(g\) nehézségi gyorsulásnak?
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp}}=35,9\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
ami a nehézségi gyorsulás kb. 3,6-szorosa
A centripetálsi gyorsulásra 3 kifejezésünk is van:
\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\omega^2=v\omega\]
Azt érdemes használnunk, amelyikben szereplő adatokat ismerjük. Egyrészt tudjuk, hogy a forgó szoba \(d=6\ \mathrm{m}\) átmérőjű, úgyhogy a sugár ennek fele:
\[r=3\ \mathrm{m}\]
de sem a \(v\) "kerületi" sebességet, sem az \(\omegaq) szögsebességet nem ismerjük. Hanem a fordulatszámot tudjuk, amit át is váltunk SI-egységbe:
\[n=33\ \mathrm{\frac{1}{min}}=33\ \mathrm{\frac{1}{60\ s}}=0,55\ \mathrm{\frac{1}{s}}=\]
Mivel minden egyes fordulat \(2\pi\) szögelfordulással jár (radiánban mérve), ezért a fordulatszámnál, ami a másodpercenkénti fordulatok száma, a másodpercenkénti szögeldfordulást megmutató szögsebessség mindig \(2\pi\)-szer nagyobb:
\[\omega=2\pi\cdot n\]
\[\omega=2\pi\cdot 0,55\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[\omega=3,46\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ezzel már kiszámolhatjuk a centripetális gyorsulást, a második képlettel:
\[a_{\mathrm{cp}}=r\omega^2\]
Mindent SI-egységben berva, a mértékegységek elhagyhatók:
\[a_{\mathrm{cp}}=3\cdot 3,46^2\]
\[a_{\mathrm{cp}}=35,9\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Hányszorosa ez a nehézségi gyirsulásnak?
\[\frac{a_{\mathrm{cp}}}{g}=\frac{35,9\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}}{10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}}\approx 3,6\]
c) Mekkora erővel nyomódik a henger falának egy $60\ \mathrm{kg}$‑os ember forgás közben? Hányszorosa ez a "nyugalmi" súlyának?
\(F_{\mathrm{ny}}=2154\ \mathrm{N}\)
ami 3,6-szor nagyobb, mint az ember súlya
Írjuk fel centripetális irányra a dinamika alapegyenletét:
\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Centripetális irányban az emberre egyetlen erő hat, a fal által kifejtett \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerő, pont, amit keresünk. Ha a pozitív irányt a körpálya középpontja felé vesszük (nem pedig "kifelé" irányba), akkor mind a nyomóerő, mind a centripetális gyorsulás pozitív előjellel írandó be az egyenletbe:
\[F_{\mathrm{ny}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]
Írjuk be az adatainkat, mindent SI-egységben, így a mértékegységek elhagyhatók:
\[F_{\mathrm{ny}}=60\cdot 35,9\]
\[F_{\mathrm{ny}}=2154\ \mathrm{N}\]
Mivel az emberről már kiszámoltuk, hogy 3,6-szor nagyobb a centripetális gyorsulása, mint amit a nehézségi erő okozna neki nehézségi gyorsulás, ezért a nehézségi erővel azonos súlya is 3,6-szor kisebb, mint a mostani \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerő, ami a centripetális gyorsulását okozza, így számítás nélkül rávághatjuk, hogy a nyomóerő 3,6-szor nagyobb, mint az ember súlya.
d) Mekkora tapadási erő hat forgás közben egy \(60\ \mathrm{kg}\)-os emberre?
\(F_{\mathrm{t}}=600\ \mathrm{N}\)
Függőleges irányba az emberek nem mozdulnak el, így \(a_{\mathrm{y}}\) függőleges gyorsulásuk nincsen. Ha a Newton II-törvényét felírjuk a függőleges irányra :
\[\Sigma F_{\mathrm{y}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]
ebből az következik, hogy a függőleges erőknek összességében nullát kell adniuk. Nézzük az erőket:
Tehát függőleges irányban a tapadási erő egyensúlyt tart a nehézségi erővel, ami csak úgy lehet, hogy azonos nagyságúak. Vagyis a tapadási erő:
\[F_{\mathrm{t}}=mg\]
Az adatokat SI-egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:
\[F_{\mathrm{t}}=60\cdot 10\]
\[F_{\mathrm{t}}=600\ \mathrm{N}\]
e) Mekkora tapadási együttható szükséges, hogy a tapadási súrlódás képes legyen "megtartani" az embereket? Mit kell tennie ennek érdekében az üzemeltetőknek?
\(\mu_{\mathrm{t}}\ge 0,28\)
A tapadási súrlódási erőnek van maximuma, amekkora lenni tud:
\[F_{\mathrm{t}}\le F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]
Nekünk adott az, hogy mekkora a nyomóerő (hiszen azt az ember tömege, a körpálya sugara és a fordulatszám meghatározza), valamint az is adott, hogy mekkora tapadási erőre van szükség, hogy a nehézségit kiegyenlítse. Így ezek fix értékek. Írjuk be őket az egyenlőtlenségbe, és oldjuk meg az a tapadási együthatóra:
\[F_{\mathrm{t}}\le \mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]
\[600\ \mathrm{N}\le \mu_{\mathrm{t}}\cdot 2154\ \mathrm{N}\]
\[\frac{600}{2154}\le \mu_{\mathrm{t}}\]
\[\mu_{\mathrm{t}}\ge 0,28\]
tehát legalább \(\mu_{\mathrm{t}}=0,28\)-as tapadási együttható kell, hogy az emberek nem csússzanak le. Ennek érdekében a forgó szoba falát nem szabad fényesre csiszolni, pláne lelakkozni, hanem inkább kicsit érdesíteni kell, amit könnyen megtehetünk durva csiszolókoronggal.
f) Vajon miért fogja a felső képen a sötét öltönyös férfi a kalapját?
Mert a kalapja "nyomakodik" hátrafelé, az ember mögötti fal irányába.
Ahhoz, hogy a kalap az ember fején maradjon, vagyis az emberrel együtt körmozgást végezzen, szükség van arra, hogy hasson rá valami centripetális irányú erő, ami a centripetális gyorsulást biztosítja, gondoskodik a sebességvektor irányának megváltoztatásáról, a kalap "elkanyarításáról". A fejtetőre helyezett kalap esetében nincs efféle centripetális, azaz vízszintesen előrefelé ható erő, így ezt a feladatot emberünk a kezével kénytelen biztosítani.
Ha az egyik pillanatban elengedné a kalapját, akkor megszűnne a kalapot körpályára kényszerítő centripetális erő, így a kalap egyenes vonalban folytatná a mozgását. Mindez felülnézetben:
Ha tehát a kalapra ható centripetális irányú erő hirtelen eltűnne, akkor Newton I. törvénye értelmében a kalap "megtartaná a sebességét", azaz a pillanatnyi sebességvektora irányéába haladna tovább, ami a körpályám továbbhaladáshoz képest olyan mozgást jelent, ami távolodik a kör középpontjától, vagyis körpályán továbbhaladó ember fejéhez képest hátrafelé, a fal felé elmozdulást jelentene.